Перегляд вихідного коду сторінки Метод матриць переходу

[[Image:Etalon-1-corr.svg|thumb|Проходження променів через шар]]
'''Метод матриць переходу'''&nbsp;— метод розрахунку проходження [[Хвиля|хвиль]] через багатошарові середовища<ref>Born, M.; Wolf, E., ''Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light''.  Oxford, Pergamon Press, 1964.</ref>, що дозволяє, зокрема,  звести обчислення коефіцієнтів проходження та відбиття до простого множення матриць. Метод застосовується в [[Оптика|оптиці]], [[Акустика|акустиці]], [[Квантова механіка|квантовій механіці]], при аналізі розсіяння нейтронів тощо. Наприклад, в оптиці його можна використати для розрахунків [[Просвітлення оптики|просвітленої оптики]] та [[діелектричне дзеркало|діелектричних дзеркал]].

== Формулювання == 
В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони

:<math>\psi(z) =  a_n e^{ik_n z} + b_n e^{-ik_n z}\,</math>, 

де <math> a_n </math> та <math> b_n </math>&nbsp;— невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а <math> k_n </math>&nbsp;— [[хвильове число]].

Нехай граничні умови на межі між шаром ''n'' та шаром ''n+1'' для функції <math>\psi(z) </math> є неперервність самої функції та її похідної:
:<math> \left\{\begin{array}{lcl} a_n e^{ik_n d_n} + b_n e^{-ik_n d_n} & = & a_{n+1} + b_{n+1} \, \\ 
ik_n a_n e^{ik_n d_n} -ik_n b_n e^{-ik_n d_n} & = & ik_{n+1}a_{n+1} - ik_{n+1}b_{n+1}. \end{array} \right.
</math>


Тут <math> d_n </math>&nbsp;—   ширина ''n''-го шару. 

Вводячи вектор 
:<math> \phi_n = (\begin{array}{cc} a_n & b_n\end{array}) </math>, 

ці граничні умови можна записати 

:<math> L_n S_n \phi^T_n = L_{n+1} \phi^T_{n+1}, </math>

де 
:<math> S_n = \left(\begin{array}{cc} e^{ik_n d_n} & 0 \\ 0 & e^{-ik_n d_n} \end{array}\right) </math>

:<math> L_n = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ ik_n & -ik_n \end{array}\right) </math>

Тоді 

:<math>  L_n \phi^T_n =  L_n  S_n^{-1}  L_n^{-1}  L_{n+1} \phi^T_{n+1} = M_n L_{n+1} \phi^T_{n+1}. </math>

Усі властивості ''n''-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці <math> M_n </math>, яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.

Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює 
:<math>M_n = L_n  S_n^{-1}  L_n^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \cos k_n d_n & -\frac{1}{k_n} \sin k_n d_n \\ k_n \sin k_n d_n & \cos k_n d_n \end{array} \right).</math>

Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:

:<math> M = \prod_{n=1}^n M_n.  </math>

Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати 

:<math>  L_L \phi^T_L  = M L_R \phi^T_R, </math>

де індекси L та R  позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно, 

:<math> \phi^T_L = \left( \begin{array}{c} 1 \\ r \end{array} \right), \qquad \phi^T_R = \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \end{array} \right).</math>

Отже, 

:<math> \left( \begin{array}{c} 1 \\ r \end{array} \right) = L_L^{-1}ML_R \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \end{array} \right) = M^{tot} \left( \begin{array}{c} t \\ 0 \end{array} \right). </math>

Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює 
:<math> t = 1 /M^{tot}_{11}</math>, 
а амплітуда відбитої хвилі 
:<math> r = M^{tot}_{21} /M^{tot}_{11}.</math>

Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин
:<math> T = |t|^2, \qquad R = |r|^2.</math>

В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа&nbsp;— комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:
:<math> A = 1 -R -T.</math>

== Оптика == 

В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має [[S-поляризація|s-поляризацію]]. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії 
:<math>k_n^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon_n, </math>

де <math> \omega </math>&nbsp;— циклічна частота, <math> c</math>&nbsp;— [[швидкість світла]], а <math> \varepsilon_n</math>&nbsp;— [[діелектрична проникність]] шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі. 

При похилому падінні крім s-поляризації існує ще [[p-поляризація]]. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як 

:<math>k_n^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon_n - q^2, </math>

де <math> {\mathbf q}</math> - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.

Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.

Матриця <math> L_n </math> набирає вигляду:

:<math> L_n = \left(\begin{array}{cc} \varepsilon_n & \varepsilon_n \\ ik_n & -ik_n \end{array}\right), </math>

а трансфер-матриця шару:
:<math>M_n = L_n  S_n^{-1}  L_n^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \cos k_n d_n & -\frac{\varepsilon_n}{k_n} \sin k_n d_n \\ \frac{k_n}{\varepsilon_n} \sin k_n d_n & \cos k_n d_n \end{array} \right).</math>

== Виноски ==
{{reflist}}

{{physics-stub}}

[[Категорія:Математична фізика]]