Перегляд вихідного коду сторінки Ромбозрізаний ікосододекаедр

{{Поліедр
| name          = Ромбозрізаний ікосододекаедр
| image         = Truncatedicosidodecahedron.jpg
| caption       = <!--підпис зображення-->
| type          = [[архімедове тіло]]
| euler         = <!--характеристика Ейлера-->
| faces         = 62: 30 квадратів<br/>20 шестикутників<br/>12 десятикутників
| edges         = 180
| vertices      = 120
| cell          = <!--кількість стільників (комірок)-->
| vertex_config = 4.6.10
| schläfli      = tr{5,3}
| wythoff       = 2 3 5 <nowiki>|</nowiki> 
| coxeter       = {{ДКД|node_1|5|node_1|3|node_1}}
| symmetry      = ''I''<sub>''h''</sub> (ікосаедрична)
| surface_area  = <math>S = 30 \left (1 + \sqrt3 + \sqrt{5 + 2\sqrt5} \right) a^2</math>
| volume        = <math>V = ( 95 + 50\sqrt5 ) a^3</math>
| angle         = 6-10: 142,62°<br/>4-10: 148,28°<br/>4-6: 159,095° 
| dual          = [[гекзакісікосаедр]]
| properties    = [[Опуклий політоп|опуклий]], [[Ізогональність|ізогональний]]
| vertex_figure = Polyhedron_great_rhombi_12-20_vertfig.svg
| net           = Truncated icosidodecahedron flat.svg
}}
'''Ромбозрізаний ікосододекаедр'''{{Sfn|Веннинджер|1974|с=20, 40}} або '''зрізаний ікосододекаедр'''{{Sfn|Энциклопедия элементарной математики|1963|с=437, 434}}{{Sfn|Люстерник|1956|с=184}}&nbsp;— [[напівправильний многогранник]] (архімедове тіло) з 62 гранями, складений із 30 [[квадрат]]ів, 20 [[Правильний шестикутник|правильних шестикутників]] і 12 [[Десятикутник|правильних десятикутників]].

У кожній з його 120 однакових вершин сходяться одна квадратна грань, одна шестикутна та одна десятикутна. [[Тілесний кут]] при вершині дорівнює рівно <math>\frac32\pi.</math>

Має 180 ребер рівної довжини. При 60 ребрах (між квадратною та шестикутною гранями) [[Двогранний кут|двогранні кути]] рівні <math>\arccos\left(-\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6}\right) \approx 159{,}09^\circ,</math> при 60 ребрах (між квадратною та десятикутною гранями) <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{10}}\right) \approx 148{,}28^\circ,</math> при 60 ребрах (між шестикутною та десятикутною гранями) <math>\arccos\left(-\sqrt{\frac{5+2\sqrt5}{15}}\right) \approx 142{,}62^\circ.</math>
[[Файл:Nonuniform_truncated_icosidodecahedron.png|ліворуч|міні|161x161пкс| Споріднений многогранник, що не є напівправильним.]]
Назва «зрізаний ікосододекаедр», яку спочатку дав цьому многограннику [[Йоганн Кеплер|Кеплер]], здатна ввести в оману. Справа в тому, що в результаті [[Зрізання (геометрія)|операції зрізання]], «зрізавши» з [[ікосододекаедр]]а 30 чотирикутних [[Піраміда (геометрія)|пірамід]], можна отримати лише дещо інший многогранник, чотирикутні грані якого&nbsp;— [[Золотий прямокутник|золоті прямокутники]], а не квадрати. Отриманий многогранник напівправильним не є; втім, він ізоморфний справжньому ромбозрізаному ікосододекаедру і його можна перетворити на такий за допомогою невеликої деформації.

== У координатах ==
Ромбозрізаний ікосододекаедр можна розташувати в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] так, щоб координати його вершин були всілякими [[Цикл (математика)|циклічними перестановками]] наборів чисел

* <math>(\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+3)),</math>
* <math>(\pm(2\Phi-2);\;\pm\Phi;\;\pm(2\Phi+1)),</math>
* <math>(\pm(\Phi-1);\;\pm(\Phi+1);\;\pm(3\Phi-1)),</math>
* <math>(\pm(2\Phi-1);\;\pm2;\;\pm(\Phi+2)),</math>
* <math>(\pm\Phi;\;\pm3;\;\pm2\Phi),</math>

де <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math>&nbsp;— відношення [[Золотий перетин|золотого перетину]].

Початок координат <math>(0;0;0)</math> буде при цьому [[Центральна симетрія|центром симетрії]] многогранника, а також центром його [[Описана сфера|описаної]] та [[Напіввписана сфера|напіввписаної]] [[Сфера|сфер]].

== Метричні характеристики ==
Якщо ромбозрізаний ікосододекаедр має ребро довжини <math>a</math>, його площа поверхні та об'єм виражаються як

: <math>S = 30 \left (1 + \sqrt3 + \sqrt{5 + 2\sqrt5} \right) a^2 \approx 174{,}2920303a^2,</math>
: <math>V = ( 95 + 50\sqrt5 ) a^3 \approx 206{,}8033989a^3.</math>

Радіус [[Описана сфера|описаної сфери]] (що проходить через усі вершини многогранника) при цьому дорівнюватиме

: <math>R = \frac{1}{2} \sqrt{31+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}8023945a;</math>

радіус [[Напіввписана сфера|напіввписаної сфери]] (що дотикається до всіх ребер у їх серединах) —

: <math>\rho = \sqrt{\frac{15}{2}+3\sqrt5}\;a \approx 3{,}7693771a.</math>

[[Вписана сфера|Вписати]] в ромбозрізаний ікосододекаедр сферу так, щоб вона дотикалася до всіх граней, неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині ромбозрізаного ікосододекаедра з ребом <math>a</math> (вона дотикатиметься лише до всіх десятикутних граней у їхніх центрах), дорівнює

: <math>r_{10} = \frac{1}{2} \sqrt{25+10\sqrt5}\;a \approx 3{,}4409548a.</math>

Відстані від центра многогранника до шестикутних і квадратних граней перевищують <math>r_{10}</math> і рівні відповідно

: <math>r_6 = \frac{1}{2} \sqrt{27+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}6685425a,</math>
: <math>r_4 = \frac{1}{2} \sqrt{29+12\sqrt5}\;a \approx 3{,}7360680a.</math>

== Визначні властивості ==
Серед усіх [[Правильний многогранник|платонових тіл]], [[Архімедове тіло|архімедових тіл]] і [[Правильногранний многогранник|тіл Джонсона]] із заданою довжиною ребра ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільший об'єм, найбільшу площу поверхні та найбільший діаметр.

Серед усіх платонових тіл, архімедових тіл і тіл Джонсона ромбозрізаний ікосододекаедр має найбільшу кількість вершин і найбільшу кількість ребер (але не найбільшу кількість граней&nbsp;— тут перше місце займає [[кирпатий додекаедр]]).

== Пов'язані многогранники ==
{{Ікосаедричні зрізи}}

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=GreatRhombicosidodecahedron|title=Ромбозрізаний ікосододекаедр}}

== Література ==
* {{Книга
|автор = [[Маґнус Веннінґер|М. Веннинджер]]
|видавництво = [[Мир (видавництво)|Мир]]
|рік = 1974
|ref = Веннинджер
|назва = Модели многогранников
}}
* {{Книга
|заголовок = 
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство физико-математической литературы|ru|Физматлит}}
|місце = {{М.}}
|рік = 1963
|відповідальний = Под ред. [[Александров Павло Сергійович|П.&nbsp;С.&nbsp;Александрова]], {{нп|Маркушевич Олексій Іванович|А. И. Маркушевича|ru|Маркушевич, Алексей Иванович}}, {{нп|Хінчин Олександр Якович|А. Я. Хинчина|ru|Хинчин, Александр Яковлевич}}
|частина = Многоугольники и многогранники
|сторінки = 382—447
|ref = Энциклопедия элементарной математики
|назва = Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия
}}
* {{Книга
|автор = [[Люстерник Лазар Аронович|Л. А. Люстерник]]
|місце = {{М.}}
|видавництво = {{нп|Физматлит|Государственное издательство технико-теоретической литературы|ru|Физматлит}}
|рік = 1956
|ref = Люстерник
|назва = Выпуклые фигуры и многогранники
}}
[[Категорія:Архімедові тіла]]