Перегляд вихідного коду сторінки Рівняння Шредінгера

{{Квантова механіка}}
'''Рівняння Шредінгера'''&nbsp;— основне [[рівняння руху]] нерелятивістської [[квантова механіка|квантової механіки]], яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.
: <math> i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle = \hat{H} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>,

де <math> \left| \psi (t) \right\rangle </math>&nbsp;— [[хвильова функція]], <math> \hat{H} </math>&nbsp;— [[гамільтоніан]]. Уперше це рівняння було опубліковане [[Ервін Шредінгер|Ервіном Шредінгером]] у 1926 році.

Для [[Вільна частинка|вільної частинки]] у [[Координатне зображення|координатному зображенні]] рівняння Шредінгера має вигляд 
:<math> i \hbar {d \psi (\mathbf{r}, t) \over d t}   = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi (\mathbf{r}, t),</math>,

де <math> \Delta </math> — [[оператор Лапласа]], а ''m'' — [[маса]] частинки, тобто є [[хвильове рівняння|хвильовим рівнянням]], розв'язками якого є хвилі із квадратичним [[Закон дисперсії|законом дисперсії]]: 
:<math> \hbar \omega = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m} </math>.

Отже, рівняння Шредінгера описує [[корпускулярно-хвильовий дуалізм|хвилі де Бройля]], але водночас для частинки в зовнішньому потенціалі рівняння має розв'язки, локалізовані в просторі. Спектр таких розв'язків дискретний. Зокрема, рівняння Шредінгера розв'язується точно для частинки в кулонівському потенціалі, тобто відтворює [[енергетичний спектр]] [[Атом водню|атома водню]].

Завдяки цій можливості опису різноманітних систем рівняння Шредінгера широко використовується для дослідження широкого спектра задач [[квантова фізика|квантової фізики]] та [[квантова хімія|квантової хімії]].

== Властивості ==
Внаслідок [[Принцип суперпозиції (квантова механіка)|квантового принципу суперпозиції станів]] рівняння, що описує еволюцію системи, має бути лінійним. Рівняння Шредінгера є саме таким, тобто, якщо дві хвильові функції <math> | \varphi(t) \rangle </math> та <math> | \chi(t) \rangle </math> задовольняють рівнянню Шредінгрера, то суперпозиція 
:<math> | \psi(t) \rangle  = a  | \varphi(t) \rangle + b  | \chi(t) \rangle   </math>, 

з довільними комплексними коефіцієнтами ''a'' і ''b'' теж йому задовільняє. 

Рівняння Шредінгера не інваріантне щодо [[Перетворення Лоренца|перетворень Лоренца]], тобто справедливе лише для частинок, швидкість яких набагато менша за [[швидкість світла]]. Загальніше [[рівняння Дірака]] переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях. Тому при взаємодії з [[магнітне поле|магнітним полем]] (яке є чисто релятивістським явищем) у загальному випадку не можна використовувати звичайне рівняння Шредінгера, а потрібно враховувати релятивістські поправки, зокрема [[спін]] (дивіться [[рівняння Паулі]]).

Комплексно спряжене рівняння
: <math> -i\hbar \frac{\partial \left| \psi^* \right\rangle}{\partial t} = \hat{H} \left| \psi^* \right\rangle </math>,

збігається з рівнянням Шредінгера, якщо замінити <var>t</var> на −<var>t</var>, а хвильову функцію <math> \left| \psi \right\rangle \, </math> на <math> \left| \psi^* \right\rangle </math>. Цей факт відображає [[зворотність]] процесів у квантовій механіці.

У граничному випадку <math> \hbar \rightarrow 0 </math> рівняння Шредінгера зводиться до [[рівняння Гамільтона-Якобі]] [[Класична механіка|класичної механіки]], що означає сумісність квантового опису фізичної системи з класичним (дивіться [[Квазікласичне наближення]]).

== Детермінізм ==
Для визначення хвильової функції будь-якої нерелятивістської квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера з початковими умовами
: <math> \left| \psi(0) \right\rangle  = \left| \psi_0 \right\rangle  \,</math>,

де <math> \left| \psi_0 \right\rangle \,</math>&nbsp;— певне початкове значення хвильової функції.

Ця умова аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються '''квантовим детермінізмом'''. Якщо в класичній механіці для визначення еволюції фізичної системи за [[закони Ньютона|законами Ньютона]] потрібно знати початкові положення і швидкості частинок, то в квантовій механіці [[Принцип невизначеності|принципово неможливо точно визначити одночасно координати та швидкості]]; натомість необхідно знати початкову хвильову функцію, яка містить набагато більше інформації. 

Підготувати квантовомеханічну систему у стані з відомою початковою хвильовою функцією для реального експерименту буває складно. У випадку, коли це ускладнено, застосовується [[матриця густини]].

== Формальний розв'язок ==

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера
: <math>  \left| \psi(t) \right\rangle = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right) \left| \psi_0 \right\rangle </math>

Тут <math> \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} t \right)</math> є не числом, а [[Лінійний оператор|оператором]], який називають [[оператор еволюції|оператором еволюції]].

== Стаціонарне рівняння Шредінгера ==
{{main|Стаціонарне рівняння Шредінгера|Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера}}
[[Файл:StationaryStatesAnimation.gif|міні|Три розв’язки рівняння Шредінгера для гармонійного осцилятора. Перші два є стаціонарними— амплітуда ймовірностей знаходження частинки є незмінною, хоча сама функція змінюється з часом.]]
<!--[[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|200px|A [[wave function]] which satisfies the non-relativistic Schrödinger equation with ''V''=0. In other words, this corresponds to a particle traveling freely through empty space. На малюнку зображена дійсна частина [[Хвильова функція|хвильової функції]].]]-->
Якщо гамільтоніан квантової системи не залежить від часу, рівняння Шредінгера можна розв'язати відносно часу методом розділення змінних і отримати так зване стаціонарне рівняння Шредінгера

: <math>\hat{H} \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle </math>,

де ''E''&nbsp;— певне [[дійсне число]], яке інтерпретують, як [[енергія|енергію]]. Це рівняння є рівнянням на [[власне значення|власні значення]]. Розв'язуючи його знаходять [[Енергетичний спектр|енергетичний спектр квантової системи]], тобто такі значення ''E'', при яких розв'язок існує. Кожному власному значенню <math>E_n </math> стаціонарного рівняння Шредінгера відповідає власний вектор <math> | \psi_n \rangle </math>.

Загальний розв'язок часового рівняння Шредінгера тоді записується у вигляді:
: <math> \left| \psi (t) \right\rangle = \sum_n a_n e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t}  \left| \psi_n \right\rangle </math>,

де <math> a_n </math>&nbsp;— комплексні коефіцієнти, які можна визначити з початкових умов.

У разі, коли гамільтоніан квантової системи залежить від часу, наприклад, при взаємодії системи з [[електромагнітна хвиля|електромагнітною хвилею]], перехід до стаціонарного рівняння Шредінгера неможливий. В такій квантовій системі енергія не зберігається, система може поглинати енергію хвилі або віддавати її хвилі.

== Методи розв'язку ==
Рівняння Шредінгера розв'язується аналітично для невеликого числа задач, більшість з яких модельні. Важливими фізичними системами, для яких існують точні розв'язки є задача про [[вільна частинка|вільну частинку]] і [[задача двох тіл]] з кулонівським потенціалом взаємодії, окремими випадками якої є задача про [[енергетичний спектр]] [[атом водню|атома водню]] та про задача про [[резерфордівське розсіяння]]. Модельні задачі допомагають зрозуміти важливі квантові ефекти, такі, наприклад, як [[тунелювання]]. Для складніших фізичних систем розроблено різноманітні методи наближеного розв'язування, зокрема, [[теорія збурень]], [[варіаційний метод]] тощо.

Більшість методів наближеного розв'язування, як аналітичних, так і чисельних, стосуються стаціонарного рівняння Шредінгера. Часове рівняння Шредінгера набуває значення тоді, коли в фізичній системі є взаємодія, яка залежить від часу, наприклад, коли система перебуває в змінному [[Електромагнітне поле|електромагнітному полі]]. Тоді система не може довільно довго зберігати свою енергію, у ній відбуваються переходи з поглинанням енергії від поля, або передачею енергії полю. Імовірності таких процесів дозволяє визначити часова теорія збурень.

== Див. також ==
* [[Рівняння Клейна-Гордона]]
* [[Рівняння Дірака]]
* [[Рівняння Шредінгера — Ньютона]]
* [[Група Шредінгера]]

== Література ==
* {{книга
|автор        = [[Вакарчук Іван Олександрович|Вакарчук І. О.]]
|заголовок    = Квантова механіка
|рік          = 2012
|видання      = 4-е видання, доповнене
|видавництво  = ЛНУ ім. Івана Франка
|місто        = {{Comment|Л.|Львів}}
|сторінок     = 872
}}
* {{книга
|автор        = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок    = Теоретична фізика
|частина      = Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика
|том          = 2
|рік          = 1993
|видавництво  = Вища школа
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 415
}}
* {{книга
|автор       = [[Юхновський Ігор Рафаїлович|Юхновський І. Р.]]
|назва       = Основи квантової механіки
|рік         = 2002
|видавництво = Либідь
|місто       = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 392
}}

[[Категорія:Квантова механіка]]
[[Категорія:Квантова фізика]]