Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Гурвіца (теорія чисел)

{{Otheruses|Теорема Гурвіца}}
'''Теорема Гурвіца'''&nbsp;— результат [[Теорія чисел|теорії чисел]], про наближення [[Ірраціональні числа|ірраціональних чисел]] [[Раціональні числа|раціональними]]. Теорема була доведена [[Адольф Гурвіц|Адольфом Гурвіцем]] у 1891 році.

== Формулювання ==
Для будь-якого додатного [[Дійсні числа|дійсного числа]] <math>c \leqslant \sqrt{5}</math> і ірраціонального числа <math>\xi</math> існує нескінченна кількість [[Взаємно прості числа|взаємно простих]] цілих чисел <math>h, k</math> таких, що <math>\left | \xi-\frac{h}{k} \right |<\frac{1}{ck^2}</math>.

Натомість для будь-якого числа <math>c > \sqrt{5}</math> існує ірраціональне число <math>\xi</math> таке, що нерівність <math>\left |\xi-\frac{h}{k} \right |<\frac{1}{ck^2}</math> виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел <math>h, k</math>.

== Доведення ==

=== Доведення першої частини теореми ===
Можна вважати, що <math>0 < \xi < 1</math>.

Розглянемо [[ряд Фарея]] порядку ''N'' і <math>\frac{a}{b}</math> і <math>\frac{a'}{b'}</math> два його послідовні члени для яких <math>\frac ab<\xi<\frac{a'}{b'}</math>. Можна вважати, що <math>b'>\frac{\sqrt5+1}2 b\ </math> або <math>\ b'<\frac{\sqrt5-1}2 b</math>. Справді, якщо <math>\frac{\sqrt5-1}2 b < b' < \frac{\sqrt5+1}2 b</math>, то <math>b + b' > \frac{\sqrt5+1}2 \max \{b,b'\}</math> і тому ряд Фарея <math>F_N</math> можна замінити на <math>F_{b + b'}</math>, а одне з чисел <math>\frac{a}{b}</math> чи <math>\frac{a'}{b'}</math> на <math>\frac{a + a'}{b + b'}</math>.

Позначаючи <math>\omega=\frac{b'}b</math>, таким чином <math>\omega>\frac{\sqrt5+1}2</math> або <math>\omega<\frac{\sqrt5-1}2</math>. В будь-якому випадку <math>1+\omega^{-2}>\sqrt5\omega^{-1}</math>, оскільки

: <math>\frac{1}{\sqrt{5}} \left( 1 + \frac{1}{\omega^2} \right) - \frac{1}{\omega} = \frac{1}{\sqrt{5} \omega^2} \left(\omega -  \frac{\sqrt5-1}2 \right) \left(\omega -  \frac{\sqrt5+1}2 \right) > 0</math>.

Звідси
: <math>\frac1{\sqrt5}\left(\frac1{b^2}+\frac1{b'^2}\right) = \frac1{\sqrt5 b^2}\left(1 + \frac{1}{ \omega^2} \right)>\frac1{\omega b^2}</math>.

З цієї нерівності отримуємо <math>\frac{a'}{b'}-\frac ab =\frac{1}{bb'} = \frac{1}{\omega b^2} <\frac1{\sqrt5}\left(\frac1{b^2}+\frac1{b'^2} \right)</math>.

Таким чином один із інтервалів <math>\left ( \frac ab, \frac ab + \frac1{\sqrt5 b^2} \right )</math> або <math>\left ( \frac {a'}{b'} - \frac1{\sqrt5 (b')^2}, \frac {a'}{b'} \right )</math> містить <math>\xi</math> і відповідно одне з чисел <math>\frac{a}{b}</math> або <math>\frac{a'}{b'}</math> задовольняє умову теореми.

Позначаючи це число <math>\frac{h}{k}</math> маємо <math>\left|\xi-\frac{h}{k} \right | < \frac{a'}{b'}-\frac ab = \frac{1}{bb'} \leqslant \frac{1}{b + b' -1}</math> і оскільки з властивостей рядів Фарея <math>F_N</math> для послідовних членів ряду <math>b + b' \geqslant N+1</math> то звідси <math>\left |\xi-\frac{h}{k} \right | < \frac{1}{N}</math>. Оскільки число <math>N</math> було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів <math>\frac{h}{k}</math>, що задовольняють умови теореми.
 

=== Контрприклад для другої частини теореми ===
Нехай <math>c=\frac\sqrt5\alpha</math>, де <math>0<\alpha<1</math> і <math>\xi=\frac{1+\sqrt5}2</math>. Припустимо, що <math>\left | \frac{h}{k} - \frac{1+\sqrt5}2 \right | < \frac{\alpha}{\sqrt {5} k^2 }</math>.
Це можна переписати як рівність <math>\theta=\sqrt5k^2\left(\frac{\sqrt5+1}2-\frac hk\right)</math>, де <math>|\theta|\le\alpha</math>. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо <math>h^2-hk-k^2=\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta\,</math>. Якщо розглянути <math>P(h)=h^2-hk-k^2</math> як многочлен від <math>h</math>, то <math>P(h)=0\Leftrightarrow h=\frac{(1\pm\sqrt5)k}2</math>. Оскільки <math>h</math> і <math>k</math> є цілими числами і <math>k \neq 0</math> це неможливо і тому <math>|h^2-hk-k^2|\geq 1</math>.

Оскільки <math>|\theta|\leqslant\alpha < 1</math> то <math>1\le\left|\frac{\theta^2}{5k^2}-\theta~\right|\le|\theta|+\frac{|\theta|^2}{5k^2}\le\alpha+\frac{\alpha^2}{5k^2}</math>, або <math>k^2<\frac{\alpha^2}{5(1-\alpha)}</math>.

Тобто [[Натуральні числа|натуральне число]] <math>k</math> може мати лише скінченну кількість значень. Тоді <math>h</math> теж може приймати скінченну кількість значень.

== Література ==
* {{Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел}}

[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:1891 у науці]]
[[Категорія:Діофантові наближення]]