Перегляд вихідного коду сторінки Формула Бретшнайдера

[[Файл:Tetragon_measures.svg|міні|256x256пкс|Чотирикутник]]
У [[Геометрія|геометрії]] '''формулою Бретшнайдера''' є наступний вираз для обчислення [[Площа|площі]] загального [[Чотирикутник|чотирикутника]] : 

:<math> S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}</math>
::<math>= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]} .</math>

Тут {{Math|''a''}} , {{Math|''b''}} , {{Math|''c''}} , {{Math|''d''}} - сторони чотирикутника, {{Math|''p''}} - [[півпериметр]] , а {{Math|''α''}} і {{Math|''γ''}} - два протилежні кути. 

Формулу Бретшнайдера можна застосовувати для обчислення площі будь-якого чотирикутника. 

Німецький [[математик]] Карл Антон Бретшнайдер відкрив формулу в 1842 році.  У тому ж році формулу отримав і німецький математик Карл Георг Крістіан фон Штаудт. 

== Доведення ==
Позначимо площу чотирикутника за {{Math|''S''}}. Тоді ми маємо 

:<math> \begin{align} S &= \text{площа } \triangle ADB + \text{площа } \triangle BDC \\
                        &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. 
\end{align} </math> 

Тому 

:<math> 2S= (ad) \sin \alpha + (bc) \sin \gamma. </math>
:<math> 4S^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. </math>

З [[Теорема косинусів|теореми косинусів]] випливає, що 

:<math> a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, </math>

оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі {{Math|''BD''}}.  Це можна записати як 

:<math>\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. </math>

Додавання цього до вищенаведеної формули для {{Math|4''S''{{sup|2}}}} дає 

:<math> \begin{align} 
4S^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) \\
                                           &= (ad+bc)^2-2abcd-2abcd\cos(\alpha+\gamma) \\
                                           &= (ad+bc)^2 - 2abcd(\cos(\alpha+\gamma)+1) \\
                                           &= (ad+bc)^2 - 4abcd\left(\frac{\cos(\alpha+\gamma)+1}{2}\right) \\
                                           &= (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right). 
\end{align} </math>

Зауважте, що: <math>\cos^2\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{1+\cos(\alpha+\gamma)}{2}</math> (тригонометрична [[тотожність]] правильна для всіх <math>\frac{\alpha+\gamma}{2}</math>) 

Слідуючи тими ж кроками, що й у [[Формула Брамагупти|формулі Брахмагупти]], це можна записати так 

:<math>16S^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).</math>

Введемо півпериметр 

:<math>p = \frac{a+b+c+d}{2},</math> 

отримуємо 

:<math>16S^2 = 16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)</math>
:<math>S^2 = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)</math> 

формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін: 

:<math> S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}</math> 

== Пов'язані формули ==
Формула Бретшнайдера узагальнює формулу [[Формула Брамагупти|Брахмагупти]] для площі [[Вписаний чотирикутник|вписаного чотирикутника]], яка у свою чергу узагальнює [[Формула Герона|формулу Герона]] для площі [[Трикутник|трикутника]]. 

Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей {{Math|''e''}} та {{Math|''f''}}  <ref>JL Coolidge, "Цікаві формули для обчислення площі чотирикутника", ''[[American Mathematical Monthly]]'' , 46 (1939) 345–347. ( [https://www.jstor.org/stable/2302891 JSTOR] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191026184216/https://www.jstor.org/stable/2302891 |date=26 жовтня 2019 }} )</ref> <ref> [[E. W. Hobson|EW Hobson]] : ''Трактат про плоску тригонометрію'' . Cambridge University Press, 1918, с. 204-205 </ref> 

:<math>
\begin{align}
S &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\
  &=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.
\end{align}
</math> 

== Примітки ==
<references group="" responsive=""></references>

== Посилання та подальше читання ==

* Аюб Б. Аюб: ''Узагальнення теорем Птолемея і Брахмагупти'' .  Математика та комп'ютерна освіта, том 41, № 1, 2007, {{ISSN|0730-8639}}
* EW Hobson : ''Трактат про плоску тригонометрію'' .  [[Cambridge University Press]], 1918, с. &nbsp; 204–205 ( [[iarchive:treatiseonplanet00hobs|онлайн-копія]] ) 
* CA Bretschneider.  ''Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes.''  Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 225-261 ( [https://books.google.de/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA225 електронна копія, німецька] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190222041843/https://books.google.de/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA225 |date=22 лютого 2019 }} ) 
* F. Strehlke: ''Zwei neue Sätze vom ebenen і sphärischen Viereck і Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes'' .  Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 323-326 ( [https://books.google.de/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA323 електронна копія, німецька] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190222095200/https://books.google.de/books?id=7vxZAAAAYAAJ&pg=PA323 |date=22 лютого 2019 }} ) 

== Зовнішні посилання ==

* {{MathWorld|urlname=BretschneidersFormula|title=Bretschneider's formula}}
*[https://proofwiki.org/wiki/Bretschneider's_Formula Bretschneider's formula] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190824025942/https://proofwiki.org/wiki/Bretschneider's_Formula |date=24 серпня 2019 }} на proofwiki.org

[[Категорія:Чотирикутники]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]
[[Категорія:Площа]]
[[Категорія:Теореми евклідової геометрії]]
[[Категорія:Теореми про чотирикутники]]