Перегляд вихідного коду сторінки Функція (математика)

{{Otheruses|Функція}}
{{unibox}}'''Фу́нкція''' ('''відобра́ження''', '''перетво́рення''', '''опера́тор''', '''зале́жник'''<ref>{{Cite web |publisher=[[Жарких Микола Іванович|Микола Жарких]] |url=http://www.myslenedrevo.com.ua/uk/Sci/Linguistics/rejestr/D-J.html | title= Реєстр репресованих слів. - Д – Й | last=[[Демська Орися Мар'янівна|Орися Демська-Кульчицька]] | website= [http://www.myslenedrevo.com.ua «Мислене древо»] |accessdate=2022-01-11}}</ref>) в [[математика|математиці]]&nbsp;— це правило, яке кожному елементу з першої [[множина|множини]]&nbsp;— [[область визначення|області визначення]] ставить у [[Відповідність між множинами|відповідність]] елемент з іншої множини&nbsp;— [[Область значень|області значень]]. Часто цю другу множину називають цільовою множиною чи [[образ функції|образом]] функції чи відображення.

Відображення <math>f</math>, яке ставить у відповідність кожному елементові множини <math>A</math> єдиний елемент множини <math>B,</math> позначається <math>f:A\to B,</math> тобто <math>f</math> відображає <math>A</math> в <math>B</math>.

== Інтуїтивне означення ==
[[Файл:Codomain2.SVG|thumb|250px|Однозначна функція <math>f</math> відображає [[область визначення]] <math>X</math> в цільову множину <math>Y</math>; менший овал всередині <math>Y</math>&nbsp;— це [[область значень]] функції <math>f</math>]]
Інтуїтивно, функція&nbsp;— це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили&nbsp;— біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними&nbsp;— улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті&nbsp;— як вихідне значення.

«Правило», яке визначає функцію, може бути задане [[формула|формулою]], певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають '''[[Аргумент функції|аргументом функції]]''', вихідне&nbsp;— '''значенням функції'''

Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(''x'') = ''x''<sup>2</sup>, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.

В загальнішому випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.

Втім, в сучасній математиці і [[природничі науки|природничих науках]] розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне '''відображення''', відповідність між деякими [[множина]]ми ''A'' (множиною або [[область визначення|областю визначення]]) та ''B'' (яку іноді називають [[область значень|областю значень]], хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє ''кожному'' елементу з множини ''A'' ''єдиний'' елемент з множини ''B''. В теорії множин такі функції зручно визначати з допомогою [[відповідність між множинами|відповідностей між множинами]]. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.

== Відсутність формального означення ==
Не існує формального означення функції. Поняття ''функція'' належить до базових понять математики, і його можна лише спробувати назвати іншим [[синонім]]ом, наприклад ''відображення'', ''відповідність'', ''закон'' чи ''[[підмножина]] [[Декартів добуток множин|декартового добутку]]''.

'''Функцією (відображенням, трансформацією)''' f множини ''X'' в множину ''Y'' (позначається f : X → Y) називається така [[відповідність між множинами]] ''X'' та ''Y'', яка задовольняє наступним умовам:
# Відповідність ''f'' '''всюди визначена''', тобто, для будь-якого ''x'' з ''X'' існує такий ''y'' з ''Y'', що ''x'' f ''y'' (''y'' є [[образ відображення|образом]] ''x'' для функції ''f''), тобто, для будь-якого ''x'' з ''X'' існує хоча б один образ ''y'' з ''Y''.
# Відповідність ''f'' є відповідністю '''багато-до-одного''', або '''функціональною''', тобто, якщо ''x'' f ''y'' та ''x'' f ''z'', то ''y'' = ''z'', тобто, ''y'' може бути образом зразу декількох елементів з ''X'', але один елемент ''x'' не може породжувати більше одного образа з ''Y''.

Елемент ''y'' з ''Y'', який відповідає елементові ''x'' з ''X'' позначається як f(''x'').

Також можна сказати, що відображенням (функцією) з ''X'' в ''Y'' є така [[відповідність між множинами|відповідність]] ''f''⊆''A×B'', в якій кожному елементові ''a''∈Pr<sub>1</sub>''f'' відповідає тільки один елемент з Pr<sub>2</sub>''f'' (тут ×&nbsp;— [[Декартів добуток множин]], Pr<sub>1</sub>''f'' та Pr<sub>2</sub>''f''&nbsp;— відповідні [[Декартів добуток множин|проєкції відображення]]).

Множина всіх функцій f : X → Y позначається як Y<sup>X</sup>. При цьому [[потужність множини]] |Y<sup>X</sup>| = |Y||X|.

Відповідність між ''X'' та ''Y'', яка задовольняє тільки умові (1) називається '''багатозначною функцією'''. Будь-яка функція є '''[[багатозначна функція|багатозначною функцією]]''', але не кожна багатозначна функція є функцією. Відповідність, яка задовольняє тільки умові (2) є [[часткова функція]]. Будь-яка функція є частковою, але не кожна часткова функція є функцією. В цій енциклопедії функцією є така відповідність між множинами, яка задовольняє одночасно умовам (1) та (2), якщо інше не вказується додатково.

Функції багатьох змінних, де ''y''=f(x<sub>1</sub>, … , x<sub>n</sub>), тобто де ''y'' одночасно залежить від ''n'' змінних, можна визначити як відображення виду f: ''X''<sup>n</sup> → ''Y'', де ''X''<sup>n</sup>&nbsp;— ''n''-степень множини ''X'' (див. [[Декартів добуток множин]]).

Приклади:
<table>
<tr><td>[[Файл:Multivalued function.svg]]</td><td>
Елемент ''3'' з ''X'' відповідає одночасно двом елементам ''b'' та ''c'' з ''Y'', тобто, f(''3'') = ''b'', f(''3'')=''c'' і ''b''≠''c''. Така відповідність є багатозначною функцією, але не функцією.
</td></tr>

<tr><td>[[Файл:Partial function.svg]]</td><td> Елемент 1 з ''X'' не відповідає жодному елементу з ''Y''. Така відповідність є частковою функцією, але не функцією.<td></tr>

<tr><td>[[Файл:Function illustration.svg]]</td><td> Така відповідність є всюди визначеною та функціональною, тобто функцією з ''X'' в ''Y''. Безпосередньо цю функцію можна задати [[множина|множиною]]: ''f'' = {(1, a), (2, b), (3, b)} або умовним переліком:
: <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} a, & \mbox{if }x=1 \\ b, & \mbox{if }x=2 \\ b, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.</math>
</td></tr>
</table>

== Області значень та визначення ==
{{main|Область визначення|Область значень}}
''X'', множина вхідних значень, також називається [[область визначення|областю визначення]] ''f'', а ''Y'', множина ''усіх можливих'' результатів, інколи називається [[область значень|областю значень]], але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів ''Y'', для яких існують відповідні елементи з ''X''. Тому в загальному випадку область значень є лише [[підмножина|підмножиною]] ''Y''.

[[Тотожне відображення|Тотожною функцією]] (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

== Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції ==
Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій:
* [[Ін'єктивне відображення|Ін'єктивна функція]]&nbsp;— функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів ''x'', ''y'' з ''Y'' виконується: ''f''(''x'') = ''f''(''y'') тоді й тільки тоді, якщо ''x'' = ''y''.
* [[Сюр'єктивне відображення|Сюр'єктивна функція]]&nbsp;— функція f:''X''→''Y'', область значень якої збігається з множиною ''Y'', тобто, для кожного ''y'' з ''Y'' існує ''x'' з ''X'' такий, що ''f''(''x'') = ''y''.
* [[Бієктивне відображення|Бієктивна функція]]&nbsp;— функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює '''взаємно однозначну відповідність''' між елементами множин ''X'' та ''Y''.

== Образ та прообраз ==

''[[Образ відображення|Образом]]'' елемента ''x''∈''X'' для відображення (функції) ''f'' є результат відображення (функції) ''f''(''x'').

Образ підмножини <var>A</var>⊂''X'' для ''f'' є така підмножина ''Y'', яка відповідає умові:
: ''f''(<var>A</var>)&nbsp;=&nbsp;{''f''(<var>x</var>)&nbsp;|&nbsp;<var>x</var>&nbsp;∈&nbsp;<var>A</var>}

Слід зазначити, що [[область значень]] ''f'' збігається з образом області визначення ''f''(''X'').

''[[Прообраз відображення]]'' (або ''обернений образ'') множини <var>B</var> ⊂ <var>Y</var> для ''f'' є підмножиною множини <var>X</var>, визначеною як
: ''f''<sup>&nbsp;−1</sup>(<var>B</var>)&nbsp;= {<var>x</var> ∈ ''X'' | ''f''(<var>x</var>) ∈<var>B</var>}

== Графік функції ==
[[Графік функції]] ''f'' є множина всіх [[впорядкована пара|впорядкованих пар]] (''x'', ''f''(''x'')), для всіх ''x'' з області визначення ''X''.

[[Файл:Cubicpoly.svg|thumb|right|Графік кубічної функції. Ця функціє є сюр'єктивною, але не ін'єктивною]]

== Композиція функцій ==
З функцій f: ''X'' → ''Y'' та g: ''Y'' → ''Z'' можна побудувати [[композиція функцій|композицію функцій]] таким чином: спершу застосувавши f до аргумента ''x'' з ''X'', а потім застосувавши ''g'' до результату. Така композиція функцій позначається g o f: X → Z, тобто (g o f)(x) = g(f(x)) для всіх x з X.

== Тотожна функція, вкладення, продовження та звуження ==
Відображення (функція) E: ''X'' → ''X'', таке, що E(''x'') = ''x'' для будь-якого ''x'' з ''X'', має назву [[тотожне відображення|тотожного відображення]], про яке говорять, що воно відображує ''X'' в себе.

Відображення I: ''X'' → ''Y'', яке відображує елемент ''x'' з ''X'' в такий же елемент, але в ''Y'', називається [[вкладення]]м

Відображення g': ''X'' → ''Y'' називається [[Звуження функції|звуженням]] (обмеженням) відображення g: ''X' '' → ''Y' '', якщо ''X'' та ''Y'' є [[підмножина]]ми ''X' '' та ''Y' '' відповідно. Відображення g, в свою чергу, називається [[продовження відображення|продовженням відображення]] g'.

== Обернена функція ==
Деякі функції мають відповідні [[обернена функція|обернені функції]]. Нехай f: ''X'' → ''Y'' та g: ''Y'' → ''X'' деякі функції. Якщо [[композиція функцій]] f o g = E<sub>''Y''</sub>, де E<sub>''Y''</sub>: ''Y''→''Y''&nbsp;— [[тотожне відображення]], то f має назву '''лівого оберненого''' до g, а g&nbsp;— '''правого оберненого''' до f. Якщо справедливо і f o g = E<sub>''Y''</sub> і g o f = E<sub>''X''</sub>, то g має назву [[обернене відображення|оберненого відображення (функції)]] до f і позначається як f<sup>−1</sup>.

== Див. також ==
{{multicol}}
* [[Алгебраїчна функція]]
* [[Аналітична функція]]
* [[Апаратна функція]]
* [[Багатозначна функція]]
* [[Вектор-функція]]
* [[Випадкова функція]]
* [[Виробнича функція]]
* [[Гамма-функція]]
* [[Гармонічна функція]]
* [[Степенева функція]]
* [[Трансцендентна функція]]
{{multicol-break}}
* [[Дельта-функція]]
* [[Дробово-лінійна функція]]
* [[Експоненційна функція]]
* [[Лінійна функція]]
* [[Логарифмічна функція]]
* [[Математична функція]]
* [[Монотонна функція]]
* [[Непарна функція]]
* [[Неперервна функція]]
* [[Узагальнена функція]]
* [[Функція розподілу ймовірностей]]
{{multicol-break}}
* [[Обернена функція]]
* [[Однозначна функція]]
* [[Парна функція]]
* [[Періодична функція]]
* [[Пропозиційна функція]]
* [[Раціональна функція]]
* [[Розривна функція]]
* [[Складена функція]]
* [[Хвильова функція]]
* [[Ціла функція]]
* [[Числова функція]]
* [[Голоморфна функція]]
{{multicol-end}}

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
{{Вікіпосилання
|Тема               = Математична функція
|Портал             = Математика
|Портал-зображення  = Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
|Вікісловник        = 
|Вікіпідручник      = 
|Вікіцитати         = 
|Вікіджерела        = 
|Вікіновини         = 
|Вікісховище        = Category:Functions
|Метавікі           = 
|Проєкт             = 
}}
* {{Фіхтенгольц.укр}}
* {{Дороговцев.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Зорич.Математичний аналіз.ч1}}
* {{Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.}}
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53412/23218.html Функція]}}
* {{Клепко_ВМ|частина=Поняття функції|сторінки=174}}
* [http://functions.wolfram.com/ The Wolfram Functions Site] gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/function FIZMA.neT - Математика онлайн]

{{Математичний аналіз}}

[[Категорія:Функції та відображення| ]]
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Математична термінологія]]