Оборотний вузол

В теорії вузлів оборотний вузол — це вузол, який може бути безперервною деформацією переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. Необоротний вузол — це будь-який вузол, який не має такої властивості. Оборотність вузла є інваріантом вузла. Оборотне зачеплення — це зачеплення з такою самою властивістю.

Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються хіральністью і оборотністю — повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний.

Історія питання

Число оборотних і необоротних вузлів за числом перетинів

Число перетинів	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS послідовність
Необоротні вузли	0	0	0	0	0	1	2	33	187	1144	6919	38118	226581	1309875	послідовність A052402 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Оборотні вузли	1	1	2	3	7	20	47	132	365	1 032	3069	8854	26712	78830	послідовність A052403 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Давно відомо, що більшість простих вузлів, таких як трилисник і вісімка, оборотні. 1962 року Ральф Фокс висловив припущення, що деякі вузли необоротні, але не було доведено їх існування, поки в 1963 році Гейл Троттер не виявив нескінченне сімейство необоротних мереживних зачеплень. Тепер відомо, що майже всі вузли необоротні.

Оборотні вузли

Найпростіший нетривіальний оборотний вузол, трилисник . Обертання вузла на 180 градусів в 3-вимірному просторі навколо осі на площині малюнка дає той же самий малюнок, але з протилежним напрямком стрілки.

Всі вузли з числом перетинів 7 і менше — оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію, але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.

Якщо вузол оборотний і ахіральний, він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю — вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як двосторонні.

Строго оборотні вузли

Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла — сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову — інволюцію — отримаємо визначення строго оборотного вузла. Всі вузли з тунельним числом 1, такі як трилисник і вісімка, строго оборотні.

Необоротні вузли

Вузол 8_17, найпростіший з необоротних.

Найпростішим прикладом необоротного вузла є 8₁₇ (в позначеннях Александера — Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 p+1), (2q+1), (2r+1), де p, q і r — різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер.

Див. також

• Хіральний вузол

Література

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots : [арх. 15 грудня 2013] // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вип. 4. — DOI:10.1007/BF03025227.
• H. F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — DOI:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
• Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
• Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вип. 2. — arXiv:q-alg/9712048. — DOI:10.1142/S021821659600014X.
• W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
• Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вип. 11. — DOI:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — JSTOR 2161103.

Посилання

• Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links [Архівовано 18 січня 2011 у Wayback Machine.], LinKnot.(англ.)
• Explanation with a video [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.], Nrich. Maths.org.