Червоподібний ланцюжок

Червоподібний ланцюжок — модель полімеру, що враховує його пружність. Модель описує полімер як довгу неперервну локально гнучку нитку, на відміну від моделі ідеального ланцюжка, яка описує полімер як послідовність жорстких ланок із випадково орієнтованими з'єднаннями. Модель червоподібного ланцюжка успішно працює для опису таких важливих полімерів, як подвійна спіраль ДНК та РНК, неструктурована РНК та неструктуровані білки.

У цій моделі полімер уявляється як ізотропний неперервно гнучкий прут. Модель особливо добре описує жорсткіші полімери, у яких сусідні ланки більш-менш узгоджені, тобто орієнтовані приблизно однаково. При кімнатній температурі форма полімеру задається гладенькою вигнутою конформацією, при T = 0 K конформація полімену жорстка.

Теоретичний опис

Полімер із довжиною $l$ параметризується як шлях $s\in (0,l)$, на якому ${\hat {t}}(s)$ — одиночний вектор, дотичний до ланцюжка в точці шляху $s$, а ${\vec {r}}(s)$ — радіус вектор цієї точки. Тоді

${\hat {t}}(s)\equiv {\frac {\partial {\vec {r}}(s)}{\partial s}}$,

а відстань між кінцями дорівнює

${\vec {R}}=\int _{0}^{l}{\hat {t}}(s)ds.$

Можна показати, що кореляційна функція червоподібного ланцюжка задається експоненційним розпадом:

$\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(0)\rangle =\langle \cos \;\theta (s)\rangle =e^{-s/P}\,$,

де $P$ — за означенням характеристична персистентна довжина полімеру. Зазвичай цікавляться середньо-квадратичною відстанню між кінцями полімеру:

$\langle R^{2}\rangle =\langle {\vec {R}}\cdot {\vec {R}}\rangle =\left\langle \int _{0}^{l}{\hat {t}}(s)ds\cdot \int _{0}^{l}{\hat {t}}(s')ds'\right\rangle =\int _{0}^{l}ds\int _{0}^{l}\langle {\hat {t}}(s)\cdot {\hat {t}}(s')\rangle ds'=\int _{0}^{l}ds\int _{0}^{l}e^{-\left|s-s'\right|/P}ds'$

$\langle R^{2}\rangle =2Pl\left[1-{\frac {P}{l}}\left(1-e^{-l/P}\right)\right]$,

У разі $l\gg P$, then $\langle R^{2}\rangle =2Pl$. Це дає підставу вважати довжину Куна удвічі більшою за персистентну довжину.