Оборотний вузол: відмінності між версіями

[перевірена версія]

Вилучено вміст Додано вміст

Лінійно

Версія за 07:48, 19 серпня 2020

В теорії вузлів оборотний вузол — це вузол, який може бути безперервною деформацією переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. Необоротний вузол — це будь-який вузол, який не має такої властивості. Оборотність вузла є інваріантом вузла. Оборотне зачеплення — це зачеплення з такою самою властивістю.

Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються хіральністью і оборотністю — повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний^[1].

Історія питання

Число оборотних і необоротних вузлів за числом перетинів
Число перетинів	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS послідовність
Необоротні вузли	0	0	0	0	0	1	2	33	187	1144	6919	38118	226581	1309875	послідовність A052402 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Оборотні вузли	1	1	2	3	7	20	47	132	365	1 032	3069	8854	26712	78830	послідовність A052403 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Давно відомо, що більшість простих вузлів, таких як трилисник і вісімка, оборотні. 1962 року Ральф Фокс^[en] висловив припущення, що деякі вузли необоротні, але не було доведено їх існування, поки в 1963 році Гейл Троттер^[en] не виявив нескінченне сімейство необоротних мереживних зачеплень●^[2]. Тепер відомо, що майже всі вузли необоротні^[3].

Оборотні вузли

Найпростіший нетривіальний оборотний вузол, трилисник . Обертання вузла на 180 градусів в 3-вимірному просторі навколо осі на площині малюнка дає той же самий малюнок, але з протилежним напрямком стрілки.

Всі вузли з числом перетинів 7 і менше — оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію^[4], але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.

Якщо вузол оборотний і ахіральний, він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю — вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як двосторонні^[5].

Строго оборотні вузли

Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла — сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову — інволюцію — отримаємо визначення строго оборотного вузла. Всі вузли з тунельним числом^[en] 1, такі як трилисник і вісімка, строго оборотні^[6].

Необоротні вузли

Найпростішим прикладом необоротного вузла є 8₁₇ (в позначеннях Александера — Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 p+1), (2q+1), (2r+1), де p, q і r — різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер^[7].

Див. також

Хіральний вузол

Примітки

↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.
↑ Trotter, 1963, с. 275–280.
↑ Murasugi, 2007, с. 45.
↑ Kuperberg, 1996, с. 173–181.
↑ Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.
↑ Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.
↑ Trotter, 1963, с. 275—280.

Література

Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots : [арх. 15 грудня 2013] // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вип. 4. — DOI:10.1007/BF03025227.
H. F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — DOI:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вип. 2. — arXiv:q-alg/9712048. — DOI:10.1142/S021821659600014X.
W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вип. 11. — DOI:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — JSTOR 2161103.

Посилання

Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links, LinKnot.(англ.)
Explanation with a video, Nrich. Maths.org.

[FOOTNOTEHoste,_Thistlethwaite,_Weeks199833–48-1] Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.

[FOOTNOTETrotter1963275–280-2] Trotter, 1963, с. 275–280.

[FOOTNOTEMurasugi200745-3] Murasugi, 2007, с. 45.

[FOOTNOTEKuperberg1996173–181-4] Kuperberg, 1996, с. 173–181.

[FOOTNOTEClark,_Elhamdadi,_Saito,_Yeatman2013-5] Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.

[FOOTNOTEMorimoto19953527—3532_Лемма_5-6] Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.

[FOOTNOTETrotter1963275—280-7] Trotter, 1963, с. 275—280.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
-В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''оборотний вузол''' - це [[Вузол (математика)|вузол]], який може бути [[ яка охоплює Ізотопія |безперервною деформацією]] переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. '''Необоротний вузол''' - це будь-який вузол, який не має такої властивості. '''Оборотність''' вузла є [[Інваріант вузла|інваріантом вузла]]. '''Оборотне зачеплення''' - це [[Зачеплення (теорія вузлів)|зачеплення]] з такою самою властивістю.
+В [[Теорія вузлів|теорії вузлів]] '''оборотний вузол'''&nbsp;— це [[Вузол (математика)|вузол]], який може бути [[ яка охоплює Ізотопія |безперервною деформацією]] переведений у себе, але зі оберненою орієнтацією. '''Необоротний вузол'''&nbsp;— це будь-який вузол, який не має такої властивості. '''Оборотність''' вузла є [[Інваріант вузла|інваріантом вузла]]. '''Оборотне зачеплення'''&nbsp;— це [[Зачеплення (теорія вузлів)|зачеплення]] з такою самою властивістю.
-Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються [[Хіральний вузол|хіральністью]] і оборотністю - повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний{{Sfn|Hoste, Thistlethwaite, Weeks|1998|с=33–48}}.
+Існує всього п'ять типів симетрії вузлів, які визначаються [[Хіральний вузол|хіральністью]] і оборотністю&nbsp;— повністю хіральний, двосторонній, додатно ахіральний необоротний, від'ємно ахіральний необоротний і повністю ахіральний оборотний{{Sfn|Hoste, Thistlethwaite, Weeks|1998|с=33–48}}.
 == Історія питання ==
 {| class="wikitable" align="center"
 |+ Число оборотних і необоротних вузлів за [[Число перетинів (теорія вузлів)|числом перетинів]]
 ! Число перетинів
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 ! 7
 ! 8
 ! 9
 ! 10
 ! 11
 ! 12
 ! 13
 ! 14
 ! 15
 ! 16
 ! [[Енциклопедія послідовностей цілих чисел|OEIS]] послідовність
 |- align="right"
 ! Необоротні вузли
 | align="right" | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 1
 | 2
 | 33
 | 187
 | 1144
 | 6919
 | 38118
 | 226581
 | 1309875
 | {{OEIS|A052402}}
 |- align="right"
 ! Оборотні вузли
 | 1
 | 1
 | 2
 | 3
 | 7
 | 20
 | 47
 | 132
 | 365
 | 1 032
 | 3069
 | 8854
 | 26712
 | 78830
 | {{OEIS|A052403}}
 |}
 Давно відомо, що більшість простих вузлів, таких як [[Трилисник (вузол)|трилисник]] і [[Вісімка (теорія вузлів)|вісімка]], оборотні. [[1962|1962 року]] {{Нп|Ральф Фокс||en|Ralph Fox}} висловив припущення, що деякі вузли необоротні, але не було доведено їх існування, поки в 1963 році {{Нп|Гейл Троттер||en|Hale Trotter}} не виявив нескінченне сімейство необоротних {{Нп|Мереживне зачеплення|мереживних зачеплень|ru|Кружевное зацепление}}{{Sfn|Trotter|1963|с=275–280}}. Тепер відомо, що майже всі вузли необоротні{{Sfn|Murasugi|2007|с=45}}.
 == Оборотні вузли ==
 [[Файл:Knot-trefoil-dir-128.png|міні|92x92пкс| Найпростіший нетривіальний оборотний вузол, [[Трилисник (вузол)|трилисник]] . Обертання вузла на 180 градусів в 3-вимірному просторі навколо осі на площині малюнка дає той же самий малюнок, але з протилежним напрямком стрілки. ]]
-Всі вузли з [[Число перетинів (теорія вузлів)|числом перетинів]] 7 і менше - оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію{{Sfn|Kuperberg|1996|с=173–181}}, але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.
+Всі вузли з [[Число перетинів (теорія вузлів)|числом перетинів]] 7 і менше&nbsp;— оборотні. Не відомо загального методу, який дав би відповідь оборотний вузол чи ні. Проблему можна перевести в алгебричну термінологію{{Sfn|Kuperberg|1996|с=173–181}}, але, на жаль, не відомо алгоритму розв'язання цієї алгебричної задачі.
-Якщо вузол оборотний і [[Хіральний вузол|ахіральний]], він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю - вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як [[Хіральний вузол#Двосторонній вузол|двосторонні{{Sfn|Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman|2013}}]][./Обратимый_узел#cite_note-_924ef37537928e1e-6 <span class="mw-reflink-text"><nowiki>[6]</nowiki></span>].
+Якщо вузол оборотний і [[Хіральний вузол|ахіральний]], він повністю ахіральний. Найпростіший вузол з цією властивістю&nbsp;— вісімка. Хіральні оборотні вузли класифікуються як [[Хіральний вузол#Двосторонній вузол|двосторонні]]{{Sfn|Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman|2013}}.
 === Строго оборотні вузли ===
-Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла - сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову - [[Інволюція (математика)|інволюцію]] - отримаємо визначення '''строго оборотного''' вузла. Всі вузли з {{Нп|Тунельне число|тунельним числом|en|Tunnel number}} 1, такі як [[Трилисник (вузол)|трилисник]] і [[Вісімка (теорія вузлів)|вісімка]], строго оборотні{{Sfn|Morimoto|1995|с=3527—3532 Лемма 5}}.
+Більш абстрактний спосіб визначення оборотного вузла&nbsp;— сказати, що існує гомеоморфізм 3-сфери, що переводить вузол в себе, але змінює орієнтацію вузла на протилежну. Якщо використовувати замість гомеоморфізму більш строгу умову&nbsp;— [[Інволюція (математика)|інволюцію]]&nbsp;— отримаємо визначення '''строго оборотного''' вузла. Всі вузли з {{Нп|Тунельне число|тунельним числом|en|Tunnel number}} 1, такі як [[Трилисник (вузол)|трилисник]] і [[Вісімка (теорія вузлів)|вісімка]], строго оборотні{{Sfn|Morimoto|1995|с=3527—3532 Лемма 5}}.
 == Необоротні вузли ==
 [[Файл:8_17_Knot.svg|міні|90x90пкс| Вузол 8<sub>17,</sub> найпростіший з необоротних. ]]
-Найпростішим прикладом необоротного вузла є 8<sub>17</sub> (в позначеннях Александера - Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 ''p''+1), (2''q''+1), (2''r''+1), де ''p,'' ''q'' і ''r'' - різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер{{Sfn|Trotter|1963|с=275—280}}.
+Найпростішим прикладом необоротного вузла є 8<sub>17</sub> (в позначеннях Александера&nbsp;— Бріггса) або .2.2 (в позначеннях Конвея). Мереживний вузол 7, 5, 3 необоротний, як і всі мереживні вузли виду (2 ''p''+1), (2''q''+1), (2''r''+1), де ''p,'' ''q'' і ''r''&nbsp;— різні цілі, що дає нескінченне сімейство вузлів, необоротність яких довів Троттер{{Sfn|Trotter|1963|с=275—280}}.
 == Див. також ==
+* [[Хіральний вузол]]
-* [[Хіральний вузол]]
 == Примітки ==
@@ Рядок 80: / Рядок 79: @@
 == Література ==
+* {{статья
+ |автор       = Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks
+ |doi              = 10.1007/BF03025227
+ |выпуск     = 4
+ |издание   = The Mathematical Intelligencer
+ |mr               = 1646740
+ |заглавие = The first 1,701,936 knots
+ |url              = http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/101/05/html/home/pdf/first.pdf
+ |том           = 20
+ |год           = 1998
+ |ref              = Hoste, Thistlethwaite, Weeks
+ |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20131215102511/http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/class/harvard/101/05/html/home/pdf/first.pdf
+ |archivedate      = 2013-12-15
+}}
+* {{книга-ру
+| автор = H. F. Trotter
+| заглавие= Topology
+| mr = 0158395
+| вклад= Non-invertible knots exist
+| том = 2
+| год = 1963
+| doi=10.1016/0040-9383(63)90011-9
+|издательство=Pergamon Press
+| ref= Trotter
+}}
+* {{книга-ру
+|заглавие=Knot Theory and Its Applications
+|автор=Kunio Murasugi
+|издательство=Springer
+|год=2007
+|isbn=9780817647186
+|url=https://books.google.com/books?id=H2rdoTKwQNMC&pg=PA45
+|ref= Murasugi
+}}
+* {{статья
+ | автор =  Greg Kuperberg
+ | arxiv = q-alg/9712048
+ | doi = 10.1142/S021821659600014X
+ | выпуск = 2
+ | издание = Journal of Knot Theory and its Ramifications
+ | mr = 1395778
+ | заглавие = Detecting knot invertibility
+ | том = 5
+ | год = 1996
+ | ref= Kuperberg
+}}
+* {{статья
+ | автор = W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman
+ | arxiv = 1312.3307
+ | заглавие = Quandle colorings of knots and applications
+ | год = 2013
+ | ref= Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman
+}}
+* {{статья
+ | автор = Kanji Morimoto
+ | doi = 10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4
+ | выпуск = 11
+ | издание = Proceedings of the American Mathematical Society
+ | jstor = 2161103
+ | mr = 1317043
+ | заглавие = There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum
+ | том = 123
+ | год = 1995
+ | ref= Morimoto
+}}
 == Посилання ==
+* Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. [http://math.ict.edu.rs:8080/webMathematica/LinkSL/ni01.htm Basic graph theory: Non-invertible knot and links], ''LinKnot.''{{ref-en}}
+* [http://nrich.maths.org/content/id/5861/VideoPlayer.html Explanation with a video], ''Nrich.'' ''Maths.org.''
-* Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. [http://math.ict.edu.rs:8080/webMathematica/LinkSL/ni01.htm Basic graph theory: Non-invertible knot and links], ''LinKnot.''
-* [http://nrich.maths.org/content/id/5861/VideoPlayer.html Explanation with a video], ''Nrich.'' ''Maths.org.''
 {{Теорія вузлів}}
 [[Категорія:Теорія вузлів]]

Оборотний вузол: відмінності між версіями

Версія за 07:48, 19 серпня 2020

Зміст

Історія питання

Оборотні вузли

Строго оборотні вузли

Необоротні вузли

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Оборотний вузол: відмінності між версіями

Версія за 07:48, 19 серпня 2020

Історія питання

Оборотні вузли

Строго оборотні вузли

Необоротні вузли

Див. також

Примітки

Література

Посилання

Навігаційне меню

Пошук