Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

• послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ….
• геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена

Позначимо перший член b₁, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b₂= b₁* q, третій — b₃= b₂* q= b₁* q², четвертий — b₄= b₃* q= b₁* q³, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: b_n= b₁q^n-1

Сума

Знайдемо суму перших $n$ членів геометричної прогресії

$s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,$

Помножимо та поділимо праву частину на $(r-1)\,$ ($r$ не може бути 1), добуток $(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,$ на $(r-1)\,$ дає $(r^n-1)\,$, оскільки решта елементів взаємно скорочуються, звідси отримаємо:

$s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}$

Якщо $\left| r \right|<1$, то $a_n \to 0$, тоді:
$S_n \to {a_0 \over 1-r}$ при $n \to \infty$

Властивості

Геометрична прогресія має цікаву властивість:

$a(r^0+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8+...) = a(r^0+r^1+r^2)(r^0+r^3+r^6+...)\,$

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +…) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +…) m

Практичне застосування

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, щороку Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.05⁶ = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також

• Прогресія
• Регресія (статистика)
• Арифметична прогресія

Посилання на сторонні джерела

• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода ; Вінниц. нац. техн. ун-. - Вінниця : ВНТУ, 2010

Джерела

• Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научних работников и инженеров»