Геометрична прогресія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

  • послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
  • геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена[ред.ред. код]

Позначимо перший член b1, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b2= b1* q, третій — b3= b2* q= b1* q2, четвертий — b4= b3* q= b1* q3, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: bn= b1qn-1

Сума[ред.ред. код]

Знайдемо суму перших n членів геометричної прогресії

s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,

Помножимо та поділимо праву частину на (r-1)\, (r не може бути 1), добуток (1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\, на (r-1)\, дає (r^n-1)\,, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:

s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}

Якщо \left| r \right|<1, то a_n \to 0, тоді:
S_n \to {a_0 \over 1-r} при n \to \infty

Властивості[ред.ред. код]

Геометрична прогресія має цікаву властивість:

a(r^0+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8+...) = a(r^0+r^1+r^2)(r^0+r^3+r^6+...)\,

Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +…) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +…) m

Практичне застосування[ред.ред. код]

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, щороку Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.056 = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання на сторонні джерела[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научних работников и инженеров»