Число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Число́ — одне з найголовніших понять математики, яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось. У давнину у слов'янських мовах, слово "число" означало "знак", "символ", "поняття", "ідея". Під словом "числити" розуміли в ті часи "значити", "думати", а також "записувати щось за допомогою знаків", "робити певні дії зі знаками". Пізніше, зокрема з поширенням арифметики і точних наук на Русі Петром I у XVIII ст. під числами стали розуміти в першу чергу ті знаки, які використовуються для позначення певних кількостей. У XIX та XX ст., з розвитком і поширенням вищої, теоретичної математики, слово "число" знову починає вживатися більш широко - для назви знаків, позначень і понять, які позначають не лише кількості - комплексні числа. Те саме ми спостерігаємо з поняттями "числити", "числення" - матричне числення, варіаційне числення і т. д.

[ред.] Типи чисел

Математики поступово розширювали набір усіх відомих чисел. Поява нових видів чисел і числення тісно пов'язана з розвитком людського суспільства. Разом з тим, на кожне розширення числової системи можна дивитися з математичної точки зору, обґрунтовуючи таке розширення, як правило, розширенням можливостей виконувати деяку математичну операцію.

[ред.] Натуральні числа

Дослівно - "природні" числа (лат. "natura" - природа). Існує вислів, що натуральні числа створені Богом, а інші числа - витвір людської уяви. Натуральні числа - найдавніші числа, які стали використовувати люди, в першу чергу при лічбі:

 $1,2,...,10,11,...$

Сукупність (множина) всіх натуральних чисел позначається $\mathbb{N}$ .

[ред.] Цілі числа

Назва "цілі числа" виникла на противагу числам, які позначають "нецілі" кількості, - дробам. Цілі числа утворюються на основі натуральних за допомогою введення нових понять і позначень: нуля (0, лат. nullus - ніщо, відсутність будь-якої кількості) та від'ємних чисел, тобто таких кількостей, додаючи до яких додатні кількості (які позначаються натуральними числами) ми отримуємо нуль. Від'ємні числа позначаються за допомогою знака "-" (мінус) перед тим натуральним числом, у сумі з яким дане від'ємне число дає 0.

Від'ємні числа отримали застосування в багатьох сферах людського життя - в математиці (дозволили розробити поняття системи координат), в економіці (позначення боргу), у фізиці (від'ємні заряди, від'ємна температура), в історії (роки до нашої ери) тощо.

У множині цілих чисел (на відміну від натуральних) завжди здійсненне віднімання.

Множина цілих чисел позначається - $\mathbb{Z}$ . Цілі числа в математиці вивчають у рамках теорії чисел.

[ред.] Раціональні числа

Назва цих чисел походить від латинського "ratio" - "відношення", у зв'язку з тим, що ці числа з часу своєї появи позначаються за допомогою відношення двох цілих чисел наприклад, 2:5 або 2/5. Інша назва - "дроби", тобто числа, якими можна позначити нецілу кількість предметів - півторта, третину стакана, чверть години і т.д. Під дробовими числами, як правило, розуміють ті раціональні числа, які не відносяться до цілих.

Поява раціональних чисел також дала змогу вирішити велику кількість прикладних задач з різних галузей науки.

У множині раціональних чисел (на відміну від цілих) завжди здійсненне ділення, крім ділення на 0. Цікаво, що історично цю проблему щодо ділення було вирішено значно раніше, ніж проблему щодо віднімання, так що спочатку множину натуральних чисел (разом з нулем) було розширено до множини невід'ємних раціональних чисел, і лише потім з'явилися від'ємні числа. Справді, дроби набагато "реальніші" за від'ємні числа, перші легше безпосередньо відчути на життєвих прикладах. Однак з точки зору математики виглядає дещо природнішим спочатку сконструювати цілі від'ємні числа, а потім дробові. Для шкільної програми в цьому питанні характерим є "історичний" підхід: учнів знайомлять з дробами раніше, ніж з від'ємними числами.

Множина всіх раціональних чисел позначається $\mathbb{Q}$ .

[ред.] Дійсні числа

Назва чисел відображає думку про те, що вони дають змогу описувати дійсність (реальність). Після появи раціональних чисел стало зрозумілим, що вони не дають змогу вирішити всі задачі, які постали перед людством. Серед них такі задачі, як вимірювання відстаней (наприклад, діагоналі одиничного квадрата), пошук коренів квадратних рівнянь та ін. Було введено поняття ірраціонального (нераціонального) числа - числа, яке не може бути виражене за допомогою відношення цілих чисел. Сукупність раціональних та ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Найбільш поширене позначення дійсних чисел - у вигляді десяткових (можливо нескінченних) дробів. Ірраціональні числа в цьому випадку - неперіодичні, нескінченні десяткові дроби. Зазначимо, що нескінченний десятковий дріб можна трактувати як послідовність певних скінченних десяткових дробів (тобто раціональних чисел); границя такої послідовності дорівнює числу, яке зображує цей десятковий дріб.

У множині дійсних чисел (на відміну від раціональних) завжди здійсненна дія добування кореня натурального степеня з невід'ємного числа.

Множина дійсних чисел позначається $\mathbb{R}$ , першою буквою слова "real" - дійсні.

[ред.] Комплексні числа

Дослівний переклад назви цих чисел - "складені" ("складні") числа, від лат. "complex". Кожне комплексне число можна трактувати як пару дійсних чисел; якщо другий елемент цієї пари рівний 0, то таке комплексне число ототожнюють з дійсним (унаслідок чого маємо справді розширення множини дійсних чисел). Ті комплексні числа, які не ототожнені з жодним дійсним числом, називаються уявними числами (хоча існують і інші точки зору на значення словосполучення "уявне число").

Комплексні числа застосовуються в електродинаміці, квантовій механіці та інших галузях фізики.

У множині комплексних чисел завжди здійсненна дія добування кореня довільного натурального степеня з довільного комплексного числа (в той час як, залишаючись у межах дійсних чисел, корінь парного степеня можна добути лише з невід'ємного числа). Як наслідок, стає можливим розв'язати довільне квадратне рівняння (тобто навіть з від'ємним дискримінантом).

Комплексні числа плідно використовуються також для розв'язування кубічних рівнянь (за формулами Кардано). Цікаво, що при цьому часто навіть для отримання дійсних розв'язків кубічного рівняння доводиться мати справу з уявними числами на деяких етапах розв'язування.

Множина комплексних чисел позначається $\mathbb{C}$ , першою буквою слова "complex" - комплексний.

[ред.] Інші типи чисел

Комплексні числа можуть бути розширені до кватерніонів, від лат. "quattro" ("чотири"); кватерніон можна трактувати як упорядковану множину чотирьох дійсних чисел. Множина кватерніонів позначається $\mathbb{H}$ . Для кватерніонів втрачається комутативність множення.

В свою чергу, октоніни $\mathbb{O}$ є розширенням кватерніонів і втрачають властивість асоціативності.

Кватерніони та октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.

Таким чином, вищерозглянуті множини чисел можна записати у вигляді такого ланцюжка: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\subset \mathbb{H}\subset \mathbb{O}$ .

У математиці існує поняття "потужність множини", яке є узагальненням поняття "кількість елементів множини" на випадок, коли множина може бути нескінченною. Для описання цих потужностей вводять кардинали або, що те саме, кардинальні числа.

[ред.] Історія чисел

[ред.] Дивіться також

Теорія чисел

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Типи чисел

[ред.] Натуральні числа

[ред.] Цілі числа

[ред.] Раціональні числа

[ред.] Дійсні числа

[ред.] Комплексні числа

[ред.] Інші типи чисел

[ред.] Історія чисел

[ред.] Дивіться також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами