Число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Numbers 1 10 rotation illusion.gif

Число́ — одне з найголовніших понять математики, яке в багатьох випадках може виступати як міра кількості чогось.

У давнину у слов'янських мовах, слово "число" означало "знак", "символ", "поняття", "ідея"[Джерело?]. Під словом "числити" розуміли в ті часи "значити", "думати", а також "записувати щось за допомогою знаків", "робити певні дії зі знаками".

Типи чисел[ред.ред. код]

Математики поступово розширювали набір усіх відомих чисел. Поява нових видів чисел і числення тісно пов'язана з розвитком людського суспільства. Разом з тим, на кожне розширення числової системи можна дивитися з математичної точки зору, обґрунтовуючи таке розширення, як правило, розширенням можливостей виконувати деяку математичну операцію.

Натуральні числа[ред.ред. код]

Дослівно - "природні" числа (лат. "natura" - природа). Існує вислів, що натуральні числа створені Богом, а інші числа - витвір людської уяви. Натуральні числа - найдавніші числа, які стали використовувати люди, в першу чергу при лічбі:

1, 2, ..., 10, 11, ...

Сукупність (множина) всіх натуральних чисел позначається \mathbb{N}.

Цілі числа[ред.ред. код]

Назва "цілі числа" виникла на противагу числам, які позначають "нецілі" кількості, - дробам. Цілі числа утворюються на основі натуральних за допомогою введення нових понять і позначень: нуля (0, лат. nullus - ніщо, відсутність будь-якої кількості) та від'ємних чисел, тобто таких кількостей, додаючи до яких додатні кількості (які позначаються натуральними числами) ми отримуємо нуль. Від'ємні числа позначаються за допомогою знака "-" (мінус) перед тим натуральним числом, у сумі з яким дане від'ємне число дає 0.

Від'ємні числа отримали застосування в багатьох сферах людського життя - в математиці (дозволили розробити поняття системи координат), в економіці (позначення боргу), у фізиці (від'ємні заряди, від'ємна температура), в історії (роки до нашої ери) тощо.

У множині цілих чисел (на відміну від натуральних) завжди здійсненне віднімання.

Множина цілих чисел позначається - \mathbb{Z}. Цілі числа в математиці вивчають у рамках теорії чисел.

Раціональні числа[ред.ред. код]

Назва цих чисел походить від латинського "ratio" - "відношення", у зв'язку з тим, що ці числа з часу своєї появи позначаються за допомогою відношення двох цілих чисел наприклад, 2:5 або 2/5. Інша назва - "дроби", тобто числа, якими можна позначити нецілу кількість предметів - півтора, третину стакана, чверть години і тощо. Під дробовими числами, як правило, розуміють ті раціональні числа, які не відносяться до цілих.

Поява раціональних чисел також дала змогу вирішити велику кількість прикладних задач із різних галузей науки.

У множині раціональних чисел (на відміну від цілих) завжди здійснене ділення, крім ділення на 0. Цікаво, що історично проблему щодо ділення було вирішено значно раніше, ніж проблему щодо віднімання, так що спочатку множину натуральних чисел (разом з нулем) було розширено до множини невід'ємних раціональних чисел, і лише потім з'явилися від'ємні числа. Справді, дроби набагато "реальніші", ніж від'ємні числа, перші простіше безпосередньо відчути на життєвих прикладах. Однак, з точки зору математики виглядає дещо природнішим спочатку сконструювати цілі від'ємні числа, а вже потім - дробові. Для шкільної програми в цьому питанні характерним є "історичний" підхід: учнів ознайомлюють з дробами раніше, ніж з від'ємними числами.

Множина всіх раціональних чисел позначається \mathbb{Q}.

Дійсні числа[ред.ред. код]

Назва чисел відображає думку про те, що вони дають змогу описувати дійсність (реальність). Після появи раціональних чисел стало зрозумілим, що вони не дають змогу вирішити всі задачі, які постали перед людством. Серед них такі задачі, як вимірювання відстаней (наприклад, діагоналі одиничного квадрата), пошук коренів квадратних рівнянь та ін. Було введено поняття ірраціонального (нераціонального) числа - числа, яке не може бути виражене за допомогою відношення цілих чисел. Сукупність раціональних та ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел.

Найпоширеніше позначення дійсних чисел - у вигляді десяткових (можливо нескінченних) дробів. Ірраціональні числа в цьому випадку - неперіодичні, нескінченні десяткові дроби. Зазначимо, що нескінченний десятковий дріб можна трактувати як послідовність певних скінченних десяткових дробів (тобто раціональних чисел); границя такої послідовності дорівнює числу, яке зображує цей десятковий дріб.

У множині дійсних чисел (на відміну від раціональних) завжди здійсненна дія добування кореня натурального степеня з невід'ємного числа.

Множина дійсних чисел позначається \mathbb{R}, першою буквою слова "real" - дійсні.

Комплексні числа[ред.ред. код]

Дослівний переклад назви цих чисел - "складені" ("складні") числа, від лат. "complex". Кожне комплексне число можна трактувати як пару дійсних чисел; якщо другий елемент цієї пари рівний 0, то таке комплексне число ототожнюють з дійсним (унаслідок чого маємо справді розширення множини дійсних чисел). Ті комплексні числа, які не ототожнені з жодним дійсним числом, називаються уявними числами (хоча існують і інші точки зору на значення словосполучення "уявне число").

Комплексні числа застосовуються в електродинаміці, квантовій механіці та інших галузях фізики.

У множині комплексних чисел завжди здійсненна дія добування кореня довільного натурального степеня з довільного комплексного числа (в той час як, залишаючись у межах дійсних чисел, корінь парного степеня можна добути лише з невід'ємного числа). Як наслідок, стає можливим розв'язати довільне квадратне рівняння (тобто навіть з від'ємним дискримінантом).

Комплексні числа плідно використовуються також для розв'язування кубічних рівнянь (за формулами Кардано). Цікаво, що при цьому часто навіть для отримання дійсних розв'язків кубічного рівняння доводиться мати справу з уявними числами на деяких етапах розв'язування.

Множина комплексних чисел позначається \mathbb{C}, першою буквою слова "complex" - комплексний.

Інші типи чисел[ред.ред. код]

Комплексні числа можуть бути розширені до кватерніонів, від лат. "quattro" ("чотири"); кватерніон можна трактувати як упорядковану множину чотирьох дійсних чисел. Множина кватерніонів позначається \mathbb{H}. Для кватерніонів втрачається комутативність множення.

В свою чергу, октоніони \mathbb{O} є розширенням кватерніонів і втрачають властивість асоціативності.

Кватерніони та октоніони є прикладами гіперкомплексних чисел.

Таким чином, вищерозглянуті множини чисел можна записати у вигляді такого ланцюжка: \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset  \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\subset  \mathbb{H}\subset  \mathbb{O}.

У математиці існує поняття "потужність множини", яке є узагальненням поняття "кількість елементів множини" на випадок, коли множина може бути нескінченною. Для описання цих потужностей вводять кардинали або, що те саме, кардинальні числа.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan company, 1930.
  • Erich Friedman, What's special about this number?
  • Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 January 1989, ISBN 0-15-543468-3.
  • [Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
  • Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1972.
  • Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.
  • George I. Sanchez, Arithmetic in Maya, Austin-Texas, 1961.
  • А. А. Кириллов, Что такое число?, выпуск 4 серии «Современная математика для студентов», М., Физматлит, 1993.
  • Л. С. Понтрягин, Обобщения чисел, серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1965.
  • Л. Я. Жмудь. «Все есть число»? (К интерпретации «основной доктрины» пифагореизма) // Mathesis. Из истории античной науки и философии. М., 1991, с. 55-74.
  • Бевз, Валентина Григорівна. Історія математики: посібник. - Х. : Видавнича група "Основа", 2006. - 171 с.
  • Конет, Іван Михайлович. Довідник з математики для учнів та абітурієнтів / І. М. Конет, Л. О. Сморжевський ; Кам'янець-Подільський держ. педагогічний ун-т. - Кам'янець-Подільський : Абетка, 2001. - 236 с.
  • Клочко, Ігор Якович Посібник з математики для школярів і абітурієнтів. - Т. : Навчальна книга - Богдан, 2008 .
  • Математика. Комплексний довідник : [посібник] / Титаренко О. М. [та ін.] ; відп. ред. Н. В. Томашевська . - Х. : Торсінг плюс, 2010. - 320 с.


Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність