Гребінець Дірака

Гребінець Дірака — нескінченний ряд

Гребінець Дірака це періодичний розподіл Шварца, що зконструйований з дельта функцій

$\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)$

для якогось періоду T.

Ряди Фур'є

Очевидно, що Δ_T(t) періодична з періодом T. Тому

$\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)\,$

для всіх t. Комплексний ряд Фур'є для такої періодичної функції

$\Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \$

де коефіцієнти Фур'є, c_n є

$c_n\,$	$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \$
	$= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \$
	$= \frac{1}{T}. \$

Всі коефіцієнти Фур'є є 1/T тому

$\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}$.

Посилання

• Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised вид.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
• Córdoba, A (1989), «Dirac combs», Letters in Mathematical Physics 17: 191–196