Гребінець Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Гребінець Дірака — нескінченний ряд

Гребінець Дірака це періодичний розподіл Шварца, що сконструйований з дельта функцій

\Delta_T(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)

для якогось періоду T.

Ряди Фур'є[ред.ред. код]

Очевидно, що ΔT(t) періодична з періодом T. Тому

\Delta_T(t+T) = \Delta_T(t)\,

для всіх t. Комплексний ряд Фур'є для такої періодичної функції

 \Delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i 2 \pi n t/T} \

де коефіцієнти Фур'є, cn є

c_n\, = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \quad ( -\infty < t_0 < +\infty ) \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \Delta_T(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-i 2 \pi n t/T}\, dt \
= \frac{1}{T} e^{-i 2 \pi n \, 0/T} \
= \frac{1}{T}. \

Всі коефіцієнти Фур'є є 1/T тому

\Delta_T(t) = \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i 2 \pi n t/T}.

Посилання[ред.ред. код]

  • Bracewell, R.N. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (revised вид.), McGraw-Hill ; 1st ed. 1965, 2nd ed. 1978.
  • Córdoba, A (1989), «Dirac combs», Letters in Mathematical Physics 17: 191–196