Періодична функція

Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом $T = 2\pi$.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення

Нехай $M$ — абелева група (зазвичай вважається, що $M=(\R,+)$ — дійсні числа з операцією додавання або $(\C,+)$ — комплексні числа). Функція $\ f: M \to N$ називається періодичною з пері́одом $\ T \ne 0$ , якщо виконується

$f(x+T) = f(x-T) = f(x), \quad \forall x \in M$.

Якщо ця рівність не виконується для всіх $T \in M,\, T \not=0$ , то функція $f$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції $f: \mathbb C \to N$ існують два періоди $T_1, T_2\not= 0$, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$, то $f$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення $f$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на $T_1, T_2$.

Примітка

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо $T$ — період, то і довільний елемент $T'$ вигляду $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ , де $n \in \mathbb{N}$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ є найменше значення, то воно називаєтся головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

• Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами $T_1$ и $T_2$ є функцією з основним періодом НСД$(T_1, T_2)$.
• Сума двох функций із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
• Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади

• Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом $2\pi$ , оскільки

$\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

• Функція рівна константі $f(x) = \mathrm{const}$ є періодичною, і довільне дійсне число є її периодом. Головного періоду вона не має.

• Функція $f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R}$ є аперіодичною.