Періодична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом

T = 2π

.

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

[ред.] Означення

Нехай $M$ - абелева група (зазвичай вважається, що $M=(\R,+)$ — дійсні числа з операцією додавання або $(\mathbb C,+)$ — комплексні числа). Функція $f: M \to N$ називається періодичною з пері́одом $T \not= 0$ , якщо виконується

$f(x+T) = f(x-T) = f(x), \quad \forall x \in M$ .

Якщо ця рівність не виконується для всіх $T \in M,\, T \not=0$ , то функція $f$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції $f: \mathbb C \to N$ існують два періоди $T_1, T_2\not= 0$ , відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є $\frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}$ , то $f$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення $f$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на $T 1, T 2$ .

[ред.] Примітка

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо $T$ — період, то і довільний елемент $T'$ вигляду $T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n$ , де $n \in \mathbb{N}$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодов $\{T, T>0, T\in\mathbb{R}\}$ є найменше значення, то воно називаєтся головним (або основним) періодом функції.

[ред.] Дії над періодичними функціями

Невірні наступні твердження стосовно суми периодичних функцій:

Сума 2 функцій зі співрозмірними (навіть основними) періодами $T 1$ и $T 2$ є функцією с періодом НСД $(T 1, T 2)$ .
Сума 2 функций із наспіврозмірними (навіть основними) періодами є неперіодичною функцією.
Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є наспіврозмірні числа.