Періодична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графіки синуса і косинуса — періодичних функцій с періодом T = 2\pi.

Періоди́чна фу́нкціяфункція, яка повтороює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення[ред.ред. код]

Нехай Mабелева група (зазвичай вважається, що M=(\R,+) — дійсні числа з операцією додавання або (\C,+) — комплексні числа). Функція \ f: M \to N називається періодичною з пері́одом \ T \ne 0 , якщо виконується

f(x+T) = f(x-T) = f(x), \quad \forall x \in M.

Якщо ця рівність не виконується для всіх T \in M,\, T \not=0 , то функція f називається аперіоди́чною.

Якщо для функції f: \mathbb C \to N існують два періоди T_1, T_2\not= 0, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є \frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R}, то f називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення f на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на T_1, T_2.

Примітка[ред.ред. код]

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо T — період, то і довільний елемент T' вигляду T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n , де n \in \mathbb{N} — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодов \{T, T>0, T\in\mathbb{R}\} є найменше значення, то воно називаєтся головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями[ред.ред. код]

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

  • Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами T_1 і T_2 є функцією з основним періодом НСД(T_1, T_2).
  • Сума двох функций із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
  • Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади[ред.ред. код]

  • Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом 2\pi , оскільки
\sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}.
  • Функція рівна константі f(x) = \mathrm{const} є періодичною, і довільне дійсне число є її периодом. Головного періоду вона не має.
  • Функція f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R} є аперіодичною.

Посилання[ред.ред. код]