Клас Понтрягіна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Клас Понтрягіна — характеристичний клас, означений для дійсних векторних розшарувань. Уведені в 1947 році радянським математиком Л. С. Понтрягіним.

Для векторного розшарування \xi з базою B класи Понтрягіна позначаються символом p_i(\xi)\in H^{4i}(B) і покладаються рівними

p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C),

де \xi\otimes\mathbb C — комплексифікація розшарування \xi, a c_{i} — класи Черна.

Повним класом Понтрягіна називається неоднорідний характеристичний клас

p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots.

Якщо B — гладкий многовид і розшарування \xi явно не вказується, то припускається що \xi є дотичним розшаруванням B.

Властивості[ред.ред. код]

  • Через класи Понрягіна виражаються L-клас Хірцебруха і \hat A-клас.
  • Якщо \xi, \eta — два дійсних векторних розшарування над спільною базою, то клас когомологій
        p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta) має порядок не більше двох.
    • Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
          p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta).
  • Класи Понтрягіна з раціональними коефіцієнтами двох гомеоморфних многовидів співпадають (теорема С. П. Новікова)
    • Відомий приклад, який показує, що цілочисельні класи Понтрягіна не є топологічними інваріантами.
  • Для 2k-вимірного розшарування \xi справедлива рівність
        p_k(\xi)=e(\xi)^2,
    де e(\xi) позначає клас Ейлера.

Література[ред.ред. код]

  • Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
  • Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298–300;
  • Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характеристические классы = Characteristic classes. — М: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 прим.