Клас Понтрягіна

Клас Понтрягіна — характеристичний клас, означений для дійсних векторних розшарувань. Уведені в 1947 році радянським математиком Л. С. Понтрягіним.

Для векторного розшарування $\xi$ з базою $B$ класи Понтрягіна позначаються символом $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$ і покладаються рівними

$p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )$,

де $\xi \otimes \mathbb {C}$ — комплексифікація розшарування $\xi$, a $c_{i}$ — класи Черна.

Повним класом Понтрягіна називається неоднорідний характеристичний клас

$p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots$.

Якщо $B$ — гладкий многовид і розшарування $\xi$ явно не вказується, то припускається що $\xi$ є дотичним розшаруванням $B$.

Властивості

• Через класи Понрягіна виражаються L-клас Хірцебруха і ${\hat {A}}$-клас.
• Якщо $\xi$, $\eta$ — два дійсних векторних розшарування над спільною базою, то клас когомологій
      $p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$ має порядок не більше двох.
  • Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
        $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$.
• Класи Понтрягіна з раціональними коефіцієнтами двох гомеоморфних многовидів збігаються (теорема С. П. Новікова)
  • Відомий приклад, який показує, що цілочисельні класи Понтрягіна не є топологічними інваріантами.
• Для 2k-вимірного розшарування $\xi$ справедлива рівність
      $p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
  де $e(\xi )$ позначає клас Ейлера.

Література

• Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298–300;
• Дж. Милнор, Дж. Сташеф. Характеристические классы = Characteristic classes. — М : Мир, 1979. — 371 с. — 6500 прим.