Клас Понтрягіна

Клас Понтрягіна — характеристичний клас, означений для дійсних векторних розшарувань. Уведені в 1947 році радянським математиком Л. С. Понтрягіним.

Для векторного розшарування $\xi$ з базою $B$ класи Понтрягіна позначаються символом $p_i(\xi)\in H^{4i}(B)$ і покладаються рівними

$p_i(\xi)=(-1)^ic_{2i}(\xi\otimes\mathbb C)$,

де $\xi\otimes\mathbb C$ — комплексифікація розшарування $\xi$, a $c_{i}$ — класи Черна.

Повним класом Понтрягіна називається неоднорідний характеристичний клас

$p(\xi)=1+p_1(\xi)+p_2(\xi)+\dots$.

Якщо $B$ — гладкий многовид і розшарування $\xi$ явно не вказується, то припускається що $\xi$ є дотичним розшаруванням $B$.

Властивості

• Через класи Понрягіна виражаються L-клас Хірцебруха і $\hat A$-клас.
• Якщо $\xi$, $\eta$ — два дійсних векторних розшарування над спільною базою, то клас когомологій
      $p(\xi\oplus\eta)-p(\xi)p(\eta)$ має порядок не більше двох.
  • Зокрема, якщо кільце коефіцієнтів містить 1/2, то виконується рівність
        $p(\xi\oplus\eta)=p(\xi)p(\eta)$.
• Класи Понтрягіна з раціональними коефіцієнтами двох гомеоморфних многовидів співпадають (теорема С. П. Новікова)
  • Відомий приклад, який показує, що цілочисельні класи Понтрягіна не є топологічними інваріантами.
• Для 2k-вимірного розшарування $\xi$ справедлива рівність
      $p_k(\xi)=e(\xi)^2,$
  де $e(\xi)$ позначає клас Ейлера.

Література

• Понтрягин Л. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков СП., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298–300;
• Дж. Милнор, Дж. Сташеф Характеристические классы = Characteristic classes. — М: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 прим.