Гомеоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні

Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Гомеоморфі́зм (грец. ομοιο — схожий, грец. μορφη — форма) — в топології, це взаємно-однозначне і неперервне відображення. Простори, зв'язані гомеоморфізмом, топологічно невідмінні.

[ред.] Визначення

Хай і — два топологічні простори.

Функція називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також і неперервні.

Простори та у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

[ред.] Теорема про гомеоморфізм

Хай — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Хай — бієкція.

Тоді є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли є строго монотонна і неперервна на .

[ред.] Приклад

Довільний відкритий інтервал гомеоморфний всій числовій прямій . Гомеоморфізм задається, наприклад, формулою

[ред.] Властивості

Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.

Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якшо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні групи гомологій співпадатимуть.

Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий - ні.

Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені.