Гомеоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні
Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Гомеоморфі́зм (грец. ομοιο — схожий, грец. μορφη — форма) — в топології, це взаємно-однозначне і неперервне відображення. Простори, зв'язані гомеоморфізмом, топологічно невідмінні.

Визначення[ред.ред. код]

Хай (X,\mathcal{T}_X) і (Y,\mathcal{T}_Y) — два топологічні простори.

Функція \ f:X \to Y називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також \ f і \ f^{-1} неперервні.

Простори \ X та \ Y у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Теорема про гомеоморфізм[ред.ред. код]

Хай |a,b|\subset \mathbb{R}інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Хай f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \Rбієкція.

Тоді \ f є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли \ f є строго монотонна і неперервна на \ |a,b|.

Приклад[ред.ред. код]

Довільний відкритий інтервал ]a,b[ \subset \mathbb{R} гомеоморфний всій числовій прямій \mathbb{R}. Гомеоморфізм f: ]a,b[ \to \mathbb{R} задається, наприклад, формулою

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).

Властивості[ред.ред. код]

Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.

Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні групи гомологій збігатимуться.

Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий - ні.

Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені.