Лінійна інтерполяція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Для заданих двох червоних точок, синя лінія — лінійний інтерполянт між ними, і значення y в x можна знайти через лінійну інтерполяцію
Лінійна інтерполяція функції (сині прямі).

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P1(x) = kx + c у точках x0 та x1, які належать відрізку [a, b].

Геометрична інтерпретація[ред.ред. код]

З геометричної точки зору це означає заміну функції f прямою,яка проходить через точки (x_0, f(x_0)) та (x_1, f(x_1)).

Рівняння такої прямої має вигляд:

\frac{y - f(x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}

звідси для x \in [x_0, x_1] маємо:

f(x) \approx  y = P_1(x) = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x - x_0)

Це і є формула лінійної інтерполяції, при чому

f(x) = P_1(x) + R_1(x)\quad

де R_1(x) — похибка формули, яка обчислюється за формулою:

R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]

Для неї є справедливою наступна оцінка:

|R_1(x)|\leqslant \frac{M_2}{2} \max |(x - x_0)(x - x_1)| = \frac{M_2 h^2}{8},\quad M_2 = \max_{[a, b]} |f''(x)|,\quad h = x_1 - x_0.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Бахвалов Н.С. «Численные методы», — М: Лаборатория Базовых Знаний, 2007. — 636 с. — ISBN 978-5-94774-815-4