Многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

В математиці, многочленом чи поліномом або багаточленом^{[Джерело?]} однієї змінної називається вираз вигляду

$c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n,$

де $c i$ є сталими коефіцієнтами (константами), а $x$ — змінна.

Наприклад, $12 + 3.1 x + 2 x 6,$ та $1 + x + x 2 + x 3,$ є многочленами, але ${1 \over x^2 + 1}$ та ${\sqrt{x^2 + 1}}$ не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих ступенів змінних та константи:

$c_0 + c_1 x y^2 + c_2 z^3 + c_3 x y z + \ldots,$

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Зміст

1 Пов'язані терміни
2 Операції над многочленами
3 Корінь многочлена
4 Розкладання многочлена на нескоротні множники
5 Основна теорема алгебри
6 Література
7 Див. також

[ред.] Пов'язані терміни

В многочлені $c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n$ доданки $c i x i$ називаються його членами. Якщо $c_n \ne 0$ , то $c n x n$ називається старшим членом, а його степінь $n$ степенем многочлена. Степінь многочлена $f (x)$ позначається $deg(f)$ . Член нульового степеню $c 0$ називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен $f (x) = 0$ (інколи пишуть $f ( x ) \equiv 0$ , щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеню многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, $-\infty$ .

Многочлен нульового степеню називається константою, першого степеню - лінійним, другого степеню - квадратичним, третього степеню - кубічним. Многочлени степеню більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетрівіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами - двочленом, з трьома - тричленом.

Наприклад, $x 3 + 2 x + 5$ - кубічний тричлен з членами $x 3$ , $2 x$ і $5$ , причому $x 3$ - це старший член, а $5$ - вільний член.

[ред.] Операції над многочленами

Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

$\sum_{i=0}^n a_i x^i + \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{\max \{ n, m \}} (a_i + b_i) x^i$

Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

$\left ( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right ) \cdot \left ( \sum_{i=0}^m b_i x^i \right ) = \sum_{k=0}^{n+m} \left ( \sum_{i + j = k} a_i b_j \right ) x^k$

Многочлени можна ділити з остачею: якщо $g (x)$ - ненульовий многочлен, то будь-який многочлен $f (x)$ можна представити у вигляді

f (x) = q (x) g (x) + r (x),

де $q (x)$ і $r (x)$ - многочлени, причому $deg(r) < deg(g)$ .

[ред.] Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної $x$ . Число $a$ називається коренем многочлена $f (x)$ , якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо $f (a) = 0$ . Це рівносильно умові "Многочлен $f (x)$ ділиться на двочлен $x - a$ без остачі" (див. теорему Безу). Якщо $f (x)$ ділиться на $(x - a) 2$ без остачі, то корінь $a$ називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число $k$ , для якого $f (x)$ ділиться на $(x - a) k$ без остачі (таким чином, прості корені - це корені кратності 1).

[ред.] Розкладання многочлена на нескоротні множники

Якщо неконстантний многочлен $f (x)$ можна представити у вигляді $f (x) = g (x) h (x)$ , де $g (x)$ і $h (x)$ - многочлени степеню не нижче першого, то кажуть, що $f (x)$ розкладено на нетрівіальні множники $g (x)$ , $h (x)$ . Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, что оскільки

deg(f) = deg(g) + deg(h)

,

deg(g) > 0

і

deg(h) > 0

,

то

deg(g) < deg(f)

і

deg(h) < deg(f)

.

Якщо якийсь з множників $g (x)$ , $h (x)$ можна розкласти на нетрівіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскількі на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення $f (x)$ у вигляді

$f(x) = f_1(x) f_2(x) \ldots f_m(x),$

де многочлени $f i (x)$ є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

[ред.] Основна теорема алгебри

Детальніше у статті Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеню $n > 0$ має рівно $n$ комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на $n$ лінійних множників:

$f(z)=c_n(z-z_1)(z-z_n) \ldots (z-z_n), \quad c_n \in \mathbb{C}, z_i \in \mathbb{C}$

Таким чином, серед многочленів с комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

[ред.] Література

ван-дер Варден Б. Л.. Алгебра (1979), Москва: Наука.
Бурбаки Н. Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы) 1965
Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968
С. Т. Завало. Елементи аналізу. Алгебра многочленів. (1972), Київ: Радянська школа.

[ред.] Див. також

Многочлен Тейлора

Многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Пов'язані терміни

[ред.] Операції над многочленами

[ред.] Корінь многочлена

[ред.] Розкладання многочлена на нескоротні множники

[ред.] Основна теорема алгебри

[ред.] Література

[ред.] Див. також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами