Многочлен

В математиці, многочленом чи поліномом або багаточленом однієї змінної називається вираз вигляду

$\ c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n,$

де $c_i$ є сталими коефіцієнтами (константами), а $x$ — змінна.

Наприклад, $12 + 3.1 x + 2 x^6,$ та $1 + x + x^2 + x^3,$ є многочленами, але ${1 \over x^2 + 1}$ та ${\sqrt{x^2 + 1}}$ не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих ступенів змінних та константи:

$c_0 + c_1 x y^2 + c_2 z^3 + c_3 x y z + \ldots,$

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни

В многочлені $c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n$ доданки $c_i x^i$ називаються його членами. Якщо $c_n \ne 0$, то $c_n x^n$ називається старшим членом, а його степінь $n$ степенем многочлена. Степінь многочлена $f(x)$ позначається $\deg(f)$. Член нульового степеня $c_0$ називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен $f ( x ) = 0$ (інколи пишуть $f ( x ) \equiv 0$, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, $-\infty$.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня - лінійним, другого степеня - квадратичним, третього степеня - кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами - двочленом, з трьома - тричленом.

Наприклад, $x^3 + 2 x + 5$ - кубічний тричлен з членами $x^3$, $2 x$ і $5$, причому $x^3$ - це старший член, а $5$ - вільний член.

Операції над многочленами

• Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.

$\sum_{i=0}^n a_i x^i + \sum_{i=0}^m b_i x^i = \sum_{i=0}^{\max \{ n, m \}} (a_i + b_i) x^i$

• Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.

$\left ( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right ) \cdot \left ( \sum_{i=0}^m b_i x^i \right ) = \sum_{k=0}^{n+m} \left ( \sum_{i + j = k} a_i b_j \right ) x^k$

• Многочлени можна ділити з остачею: якщо $g(x)$ - ненульовий многочлен, то будь-який многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді

$f(x) = q(x) g(x) + r(x),$

де $q(x)$ і $r(x)$ - многочлени, причому $\deg(r) < \deg(g)$.

Корінь многочлена

Докладніше у статті Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної $x$. Число $a$ називається коренем многочлена $f(x)$, якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо $f(a)=0$. Це рівносильно умові "Многочлен $f(x)$ ділиться на двочлен $x-a$ без остачі" (див. теорему Безу). Якщо $f(x)$ ділиться на $(x-a)^2$ без остачі, то корінь $a$ називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число $k$, для якого $f(x)$ ділиться на $(x-a)^k$ без остачі (таким чином, прості корені - це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники

Якщо неконстантний многочлен $f(x)$ можна представити у вигляді $f(x) = g(x) h(x)$, де $g(x)$ і $h(x)$ - многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що $f(x)$ розкладено на нетривіальні множники $g(x)$, $h(x)$. Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

$\deg(f) = \deg(g) + \deg(h)$, $\deg(g) > 0$ і $\deg(h) > 0$,

то

$\deg(g) < \deg(f)$ і $\deg(h) < \deg(f)$.

Якщо якийсь з множників $g(x)$, $h(x)$ можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення $f(x)$ у вигляді

$f(x) = f_1(x) f_2(x) \ldots f_m(x),$

де многочлени $f_i(x)$ є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри

Докладніше у статті Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеня $n > 0$ має рівно $n$ комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на $n$ лінійних множників:

$f(z)=c_n(z-z_1)(z-z_2) \ldots (z-z_n), \quad c_n, z_i \in \C$

Таким чином, серед многочленів с комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Див. також

• Одночлен

Література

• БСЭ
• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9. 
• Ленг С. (1968). Алгебра. Москва: Мир. с. 564. 
• Бурбаки Н. Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы) 1965
• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. 

Див. також

• Многочлен Тейлора
• Матричний многочлен