Многочлен

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, многочленом чи поліномом однієї змінної називається вираз вигляду

\ c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n,

де c_i є сталими коефіцієнтами (константами), а x — змінна.

Наприклад, 12 + 3.1 x + 2 x^6, та 1 + x + x^2 + x^3, є многочленами, але  {1 \over x^2 + 1} та  {\sqrt{x^2 + 1}} не є многочленами.

Многочленом від декількох змінних називається скінченна сума, в якій кожен з доданків є добутком скінченного числа цілих ступенів змінних та константи:

c_0 + c_1 x y^2 + c_2 z^3 + c_3 x y z + \ldots,

Многочлени є одним з найважливіших класів елементарних функцій.

Пов'язані терміни[ред.ред. код]

В многочлені c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n доданки c_i x^i називаються його членами. Якщо c_n \ne 0, то c_n x^n називається старшим членом, а його степінь n степенем многочлена. Степінь многочлена f(x) позначається \deg(f). Член нульового степеня c_0 називається вільним членом.

Ще є нульовий многочлен f ( x ) = 0 (інколи пишуть f ( x ) \equiv 0, щоб підкреслити, що це не рівняння, а тотожність), який не має жодного члена, тому визначення степеня многочлена до нього застосувати не можна. Для зручності вважають, що степінь нульового многочлена дорівнює мінус нескінченності, -\infty.

Многочлен нульового степеня називається константою, першого степеня - лінійним, другого степеня - квадратичним, третього степеня - кубічним. Многочлени степеня більше нуля ми будемо називати неконстантними або нетривіальними.

Многочлен з одним членом називається одночленом, з двома членами - двочленом, з трьома - тричленом.

Наприклад, x^3 + 2 x + 5 - кубічний тричлен з членами x^3, 2 x і 5, причому x^3 - це старший член, а 5 - вільний член.

Операції над многочленами[ред.ред. код]

  • Сума многочленів є многочленом. Степінь суми многочленів менше або дорівнює максимуму степенів доданків.
\sum_{i=0}^n a_i x^i + \sum_{i=0}^m b_i x^i = 
\sum_{i=0}^{\max \{ n, m \}} (a_i + b_i) x^i
  • Добуток многочленів є многочленом. Степінь добутку многочленів дорівнює сумі степенів співмножників.
 \left ( \sum_{i=0}^n a_i x^i \right ) \cdot 
\left ( \sum_{i=0}^m b_i x^i \right ) = 
\sum_{k=0}^{n+m} \left ( \sum_{i + j = k} a_i b_j \right ) x^k
  • Многочлени можна ділити з остачею: якщо g(x) - ненульовий многочлен, то будь-який многочлен f(x) можна представити у вигляді
f(x) = q(x) g(x) + r(x),

де q(x) і r(x) - многочлени, причому \deg(r) < \deg(g).

Корінь многочлена[ред.ред. код]

Докладніше у статті Корінь многочлена

Многочлен можна розглядати як функцію від змінної x. Число a називається коренем многочлена f(x), якщо воно є коренем відповідної функції, тобто якщо f(a)=0. Це рівносильно умові "Многочлен f(x) ділиться на двочлен x-a без остачі" (див. теорему Безу). Якщо f(x) ділиться на (x-a)^2 без остачі, то корінь a називається кратним; якщо не ділиться, то простим. Кратністю кореня називається найбільше число k, для якого f(x) ділиться на (x-a)^k без остачі (таким чином, прості корені - це корені кратності 1).

Розкладання многочлена на нескоротні множники[ред.ред. код]

Якщо неконстантний многочлен f(x) можна представити у вигляді f(x) = g(x) h(x), де g(x) і h(x) - многочлени степеня не нижче першого, то кажуть, що f(x) розкладено на нетривіальні множники g(x), h(x). Якщо ж такого представлення не існує, многочлен називають нескоротним. Зрозуміло, що оскільки

\deg(f) = \deg(g) + \deg(h), \deg(g) > 0 і \deg(h) > 0,

то

\deg(g) < \deg(f) і \deg(h) < \deg(f).

Якщо якийсь з множників g(x), h(x) можна розкласти на нетривіальні множники, то ми продовжимо процес розкладання допоки це можливо. Оскільки на кожному кроці степінь множників зменшується, цей процес є скінченним. Отже в результаті ми отримаємо представлення f(x) у вигляді

f(x) = f_1(x) f_2(x) \ldots f_m(x),

де многочлени f_i(x) є нескоротними. Таке представлення однозначно, з точністю до перестановки множників.

Основна теорема алгебри[ред.ред. код]

Докладніше у статті Основна теорема алгебри

Комплексний многочлен степеня n > 0 має рівно n комплексних коренів, з урахуванням кратності.

Інакше кажучи, його можна розкласти на n лінійних множників:

f(z)=c_n(z-z_1)(z-z_2) \ldots (z-z_n), \quad c_n, z_i \in \C

Таким чином, серед многочленів с комплексними коефіцієнтами нескоротними є лише лінійні многочлени.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]