Нерівність Берроу

Нерівність Берроу — це нерівність, яка пов'язує відстані між довільною точкою всередині трикутника, вершинами трикутника та певними точками на сторонах трикутника. Вона названа на честь Девіда Френсіса Берроу.

Твердження

Нехай P — довільна точка всередині трикутника ABC. U, V та W точки, де бісектриси кутів BPC, CPA та APB перетинають сторони BC, CA, AB відповідно. Тоді нерівність Берроу стверджує, що

$PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,$

причому нерівність перетворюється на рівність лише у випадку рівностороннього трикутника, в якому Р — центр трикутника.

Узагальнення

Нерівність Берроу можна поширити на опуклі многокутники. Якщо точка $P$ є внутрішньою для опуклого многокутника з вершинами $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ і $Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}$ перетини бісектрис кутів $\angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}$ з відповідними сторонами многокутника $A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}$, то виконується така нерівність:

$\sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|$

Тут $\sec(x)$ позначає функцію секанс. У випадку трикутника $n=3$ і нерівність стає нерівністю Берроу, оскільки $\sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2$.

Історія

Посилення Берроу нерівності Ердеша — Морделла: ${\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}$

Нерівність Берроу посилює нерівність Ердеша — Морделла, яка має таку ж форму, за винятком PU, PV та PW, замінених трьома відстанями P від сторін трикутника. Її названо на честь Девіда Френсіса Берроу. Доведення цієї нерівності Берроу опублікував 1937 року як розв'язок задачі про доведення нерівності Ердеша — Морделла, опублікованої в Американському математичному щомісячнику. Цей результат названо «нерівністю Берроу» ще в 1961 року.

Простіше доведення відшукав Луїс Дж. Морделл.

Див. також

• Теорема Ейлера в геометрії
• Список нерівностей трикутників

Посилання

• Hojoo Lee: Topics in Inequalities — Theorems and Techniques