Віддаль між двома точками

Ві́дстань між двома́ то́чками — довжина уявного відрізка, кінцями якого є ці точки. Найкоротший шлях, яким можна дістатися з однієї точки в іншу.

Відстань в аналітичній геометрії

В аналітичній геометрії відстань між двома точками A(x₁, y₁) і B(x₂, y₂) на площині можна знайти за формулою

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$, яка легко доводиться завдяки теоремі Піфагора.

Якщо позначити різницю (x₂ - x₁) як $\ \Delta x$, а (y₂ - y₁) як $\ \Delta y$, формула набуває вигляду:

$d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$.

У тривимірному просторі відстань між точками знаходиться майже так само:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2} = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$.

Відстань в метричному просторі

В метричному просторі M відстань між двома точками $\rho(A,B)$ можна знайти за формулою $\rho(A,B)=\inf_{\gamma(A,B)} L(\gamma(A,B))$, де $\gamma(A,B)$ — будь-яка крива, що з'єднує точки A та B, а $L(\gamma(A,B))$ — довжина цієї кривої.

В повному метричному просторі завжди знайдеться крива, на якій досягається відстань між двома точками простору. Така крива називається найкоротшою. Найкоротших кривих може бути декілька.

Див. також

• Точка,
• Віддаль між точкою і прямою, між двома прямими,
• Довжина,
• Відрізок,
• Відстань.

Джерела

• Погорєлов О. В. Геометрія: Підруч. для 7—9 кл. серед. шк.— 3-тє вид.— К.: Освіта, 1998.— 115 с.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.