Обернена ґратка

Обернена ґратка — точкова трьохвимірна ґратка, періодична в просторі хвильових векторів, комплементарна до кристалічної ґратки твердого тіла.

Вектори оберненої ґратки

Вузли оберненої ґратки задаються векторами $\mathbf{b}$, виходячи з умови, що для будь-якого вектора кристалічної ґратки $\mathbf{a}$ виконувалася умова

$e^{i\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}} = 1$.

Якщо $\mathbf{a}_1$, $\mathbf{a}_2$ і $\mathbf{a}_3$ - вектори, які визначають примітивну комірку кристалічної ґратки, то примітивну комірку оберненої ґратки задають вектори

$\mathbf{b}_1 = \frac{2\pi}{V_0} [\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3]$,

$\mathbf{b}_2 = \frac{2\pi}{V_0} [\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1]$,

$\mathbf{b}_3 = \frac{2\pi}{V_0} [\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2]$,

де $V_0 = \mathbf{a_1} \cdot [\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3]$ - об'єм примітивної комірки.

Будь-який інший вектор оберненої ґратки $\mathbf{b}$ може бути виражений через вектори $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$ й $\mathbf{b}_3$ за допомогою формули

$\mathbf{b} = n_1\mathbf{b}_1 + n_2\mathbf{b}_2 + n_3 \mathbf{b}_3$,

де n₁, n₂, n₃ - цілі числа.

Приклади

Для простої кубічної ґратки обернена ґратка теж проста кубічна.

Для гранецентрованої кубічної ґратки обернена ґратка об'ємноцентрована і навпаки.

Область застосування

Поняття оберненої ґратки широко використовується в фізиці твердого тіла, теорії дифракції тощо. Точкам найменших комірок оберненої ґратки можна зіставити електронні стани, й таким чином вони відіграють роль квантових чисел.

Дивіться також

• Зона Брілюена

Джерела

• Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников.. — Москва : Наука., 1978.