Образ відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нехай f:XY - відображення множини X в множину Y.

Образом відображення (чи областю значень функції) f називається множина всіх елементів виду f(x)∈Y, тобто:

im f = {f(x)| xX} = f(X)      (очевидно, що f(X)⊂Y).

Ядром відображення називається множина всіх елементів виду xX, для яких f(x)={0}.

Точно так образом елемента або значенням відображення в точці xX при відображенні f називається такий елемент yY, що y = f(x).

Образом підмножини АX при відображенні f називається така підмножина BY, що B = {f(x)| xA} = f(A).


Прообразом елемента yY називається множина всіх елементів виду f-1(y)∈X, де f-1(y) = {xX| f(x)=у}.

Прообразом підмножини BY називається множина виду f-1(B) = {xX| f(x)∈B}.

Не слід плутати f-1 з оберненим відображенням для бієктивного відображення.

Приклади[ред.ред. код]

1. f: {1,2,3} → {a,b,c,d} визначена як f(x)=\left \{\begin{matrix} a, & \mbox{if }x=1 \\ d, & \mbox{if }x=2 \\ c, & \mbox{if }x=3. \end{matrix}\right.

В цьому випадку, образом множини {2,3} при відображенні f є f({2, 3}) = {c, d}, і областю значень f є {a, c, d}. Прообразом множини {a, b} є f −1({a, b}) = {1}.

2. f: RR визначена як f(x)=x2.

В цьому прикладі, образом [-2,3] для відображення f є f([-2,3])=[0,9] і областю значень f є множина невід'ємних дійсних чисел. Прообразом [0,9] для f є f −1([0,9])=[-3,3].

Властивості[ред.ред. код]

З наведених визначень безпосередньо випливають такі властивості образів та прообразів для будь-яких A, A1, A2 з X та B, B1, B2 з Y:

  • f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)
  • f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)
  • f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)
  • f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)\!
  • f(f^{-1}(B)) \subseteq B
  • f^{-1}(f(A)) \supseteq A
  • A_1 \subseteq A_2 \to  f(A_1) \subseteq f(A_2)
  • B_1 \subseteq B_2 \to  f^{-1}(B_1) \subseteq f^{-1}(B_2)

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]