Полюс (комплексний аналіз)

Графік показує абсолютну величину гамма-функції. Видно, що функція стає нескінченою в полюсах ліворуч. Праворуч гамма-функція не має полюсів, вона просто швидко зростає

Ізольована особлива точка $z_0$ називається полюсом функції $f(z)$, якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки $z_0$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

$f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}$, де $P(z)$ - правильна частина ряду Лорана.

Якщо $f_{-n} \ne \ 0$, то $z_0$ називається полюсом порядку $n$. Якщо $n=1$, то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

1. Точка $z_0$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли $\lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty$.
2. Точка $z_0$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty$, а $\lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty$.
3. Точка $z_0$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції $F(z)=\frac{1}{f(z)}$ нулем порядку $k$.

Дивись також

• Нуль (комплексний аналіз)