Похідна Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Похідна Лі тензорного поля Q за напрямком векторного поля X — головна лінійна частина приросту тензорного поля Q при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем X.

Зазвичай позначається \mathcal{L}_X Q.

Означення[ред.ред. код]

Аксіоматичне[ред.ред. код]

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

  • Похідна Лі \mathcal{L}_X f від скалярного поля f є похідною f за напрямком X.
    \mathcal{L}_Xf=Xf.
  • Похідна Лі \mathcal{L}_X Y від векторного поля Y є дужка Лі векторних полів.
    \mathcal{L}_X Y=[X,Y].
  • Для довільних векторних полів 1-форми \alpha виконується рівність
    (\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X).
  • (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується
    \mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).

Через потік[ред.ред. код]

Нехай M^n — n-вимірний гладкий многовид і X — векторне поле на M^n.

Розглянемо потік \Gamma^t_X:M\to M за X, що визначається співвідношенням: \frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}.

Обернене відображення до диференціала \Gamma^t_X,

(d_p\Gamma^t_X)^{-1}:T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p

однозначно продовжується до гомоморфізму h_t алгебри тензорів над T_{\Gamma^t_X(p)} у алгебру тензорів над T_p. Таким чином довільне тензорне поле Q, однопараметричне сімейство полів Q_t=h_t(Q). Похідна Лі може бути означена як

\mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0}

Вираз у координатах[ред.ред. код]

\mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f, де f — скаляр.

\mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i, де y — вектор, а y^i — його компоненти.

\mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k, де \omega — 1-форма, а \omega_i — її компоненти.

\mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik}, де g — 2-форма (метрика), а g_{ij} — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері[ред.ред. код]

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері \{ e_\alpha \}, тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

(\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \},

де (\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q), і введені наступні позначення:

\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s},

P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma

R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta] — об’єкт неголономності.


Властивості[ред.ред. код]

  • \mathcal{L}_X (s) \R-лінійно за X і за s. Тут s — довільне тензорне поле.
  • Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
  • На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
  • Нехай v і u — векторні поля на многовиді, тоді
[\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v
є диференціюванням алгебри C^\infty(M), тому існує векторне поле [v,u], що називається дужкою Лі векторних полів (також скобка Пуассона або комутатор), для якого
\mathcal{L}_{[v,u]} = [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u].
  • Формула гомотопії. \mathcal{L}_v = i_v d + d i_v. Тут i_v — оператор внутрішнього диференціювання форм. ((i_v \omega)(X_1, \dots, X_{k-1}) = \omega (v, X_1, \dots, X_{k-1})
  • Як наслідок, \mathcal{L}_X d\omega = d \mathcal{L}_X \omega,\; \omega \in \Lambda^*(M)
  • \mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s). Тут s — гладкий перетин (природного) векторного розшарування F (наприклад, будь-яке тензорне поле), X^F — підняття векторного поля X на F, \mathop{vpr}_F — оператор вертикального проектування на F.

Література[ред.ред. код]

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.

Див. також[ред.ред. код]