Похідна Лі

Похідна Лі тензорного поля $Q$ за напрямком векторного поля $X$ — головна лінійна частина приросту тензорного поля $Q$ при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем $X$.

Зазвичай позначається $\mathcal{L}_X Q$.

Означення

Аксіоматичне

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

• Похідна Лі $\mathcal{L}_X f$ від скалярного поля $f$ є похідною $f$ за напрямком $X$.

  $\mathcal{L}_Xf=Xf.$

• Похідна Лі $\mathcal{L}_X Y$ від векторного поля $Y$ є дужка Лі векторних полів.

  $\mathcal{L}_X Y=[X,Y].$

• Для довільних векторних полів 1-форми $\alpha$ виконується рівність

  $(\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X).$

• (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

  $\mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).$

Через потік

Нехай $M^n$ — $n$-вимірний гладкий многовид і $X$ — векторне поле на $M^n$.

Розглянемо потік $\Gamma^t_X:M\to M$ за $X$, що визначається співвідношенням: $\frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}.$

Обернене відображення до диференціала $\Gamma^t_X$,

$(d_p\Gamma^t_X)^{-1}:T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p$

однозначно продовжується до гомоморфізму $h_t$ алгебри тензорів над $T_{\Gamma^t_X(p)}$ у алгебру тензорів над $T_p$. Таким чином довільне тензорне поле $Q$, однопараметричне сімейство полів $Q_t=h_t(Q)$. Похідна Лі може бути означена як

$\mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0}$

Вираз у координатах

$\mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f$, де $f$ — скаляр.

$\mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i$, де $y$ — вектор, а $y^i$ — його компоненти.

$\mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k$, де $\omega$ — 1-форма, а $\omega_i$ — її компоненти.

$\mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik}$, де $g$ — 2-форма (метрика), а $g_{ij}$ — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері $\{ e_\alpha \}$, тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

$(\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}$,

де $(\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q)$, і введені наступні позначення:

$\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s}$,

$P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma$

$R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta]$ — об’єкт неголономності.

Властивості

• $\mathcal{L}_X (s)$ $\R$-лінійно за $X$ і за $s$. Тут $s$ — довільне тензорне поле.
• Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
• На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
• Нехай $v$ і $u$ — векторні поля на многовиді, тоді

$[\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v$

є диференціюванням алгебри $C^\infty(M)$, тому існує векторне поле $[v,u]$, що називається дужкою Лі векторних полів (також скобка Пуассона або комутатор), для якого

$\mathcal{L}_{[v,u]} = [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u].$

• Формула гомотопії. $\mathcal{L}_v = i_v d + d i_v$. Тут $i_v$ — оператор внутрішнього диференціювання форм. ($(i_v \omega)(X_1, \dots, X_{k-1}) = \omega (v, X_1, \dots, X_{k-1}$)
• Як наслідок, $\mathcal{L}_X d\omega = d \mathcal{L}_X \omega,\; \omega \in \Lambda^*(M)$
• $\mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s)$. Тут $s$ — гладкий перетин (природного) векторного розшарування $F$ (наприклад, будь-яке тензорне поле), $X^F$ — підняття векторного поля $X$ на $F$, $\mathop{vpr}_F$ — оператор вертикального проектування на $F$.

Література

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981 Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351

Див. також

• Поле Кілінга