Дифеоморфізм

Дифеоморфі́зм — взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення $f:M\to N$ гладкого многовиду $M$ в гладкий многовид $N$, обернене до якого теж є неперервно диференційовним. Зазвичай під гладкістю розуміють $\ C^\infty$ — гладкість, проте таким же чином можуть бути визначені дифеоморфізми з іншим типом гладкості, наприклад $\ C^k$ при будь-кому $k\in \N$.

Пов'язані визначення

Якщо для $M$ та $N$ існує дифеоморфізм, то говорять, що $M$ й $N$ дифеоморфні. Множина дифеоморфізмів многовиду $M$ у собі утворює групу, що позначається $\operatorname{Diff} M$.

Приклади

• Нехай $\ f(x,y) = (x^2 + y^3, x^2 - y^3)$. Матриця Якобі цього відображення дорівнює:

$J_f = \left( \begin{array}{cc} 2x & 3y^2 \\ 2x & -3y^2 \end{array} \right).$

Її визначник дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли $xy = 0$. Тобто f є дифеоморфізмом за межами x-осі і y-осі.

Література

• Пришляк О.О.. Диференціальна геометрія : Курс лекцій. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2004. – 68 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — Москва: Мир, 1972. — 280 с.
• Ф.Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп — Москва: Мир, 1987. — 302 с.