Розширена матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В лінійній алгебрі, розширена матриця матриці, це матриця отримана шляхом деяких змін початкової.

Нехай маємо матриці A і B, де:


A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & 1 \\
    5 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
, \quad
B =
  \begin{bmatrix}
    4 \\
    3 \\
    1
  \end{bmatrix}.

Тоді, розширена матриця (A|B) виглядає як:


(A|B)=
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 3 & 2 & 4 \\
    2 & 0 & 1 & 3 \\
    5 & 2 & 2 & 1
  \end{array}\right].

Це корисно при розв'язуванні системи лінійних рівнянь; розширена матриця також може бути використана для знаходження оберненої матриці шляхом комбінування з одиничною матрицею.

Приклади[ред.ред. код]

Нехай C 2×2 матриця де 
C = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -5 & 0
  \end{bmatrix}.

Для знаходження оберненої для С ми створюємо (C|I) де I це 2×2 одинична матриця. Ми приводимо частину (C|I), що відповідає C к одиничній матриці, використовуючи тільки елементарні матричні перетворення на (C|I).


(C|I) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 3 & 1 & 0\\
    -5 & 0 & 0 & 1
  \end{array}\right]


(I|C^{-1}) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
    0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
  \end{array}\right]

В лінійній алгебрі, розширена матриця використовується для представлення коефіцієнтів і вектора розв'язку для набору рівнянь:


\begin{align}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 0 \\
3x_1 + 4x_2 + 7x_3 &= 2 \\
6x_1 + 5x_2 + 9x_3 &= 11
\end{align}

розширена матриця буде скомпонована з


A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 7 \\
6 & 5 & 9
\end{bmatrix}
, \quad
B = 
\begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
11
\end{bmatrix}.


(A|B) =
  \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11
  \end{array}\right],
або


(A|B) = 
 \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
  \end{array}\right].

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Marvin Marcus and Henryk Minc, Огляд теорії матриць і матричних нерівностей, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Стор. 31. (англ.)

Посилання[ред.ред. код]