Одинична матриця

Одинична матриця — квадратна матриця розміру $\ n$ з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.

Зазвичай позначається як $\ I$, іноді з індексом, що вказує розмірність: $\ I_n$.

Одинична матриця належить до:

• діагональних,
• ортогональних,
• додатноозначених,
• ортогонально-проекційних матриць
• та бінарних матриць.

Приклади

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\quad I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\quad \cdots ,\quad I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

Властивості

• Квадратна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру:

$\ A^0 = I.$

• Добуток невиродженої квадратної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю:

$\ A A^{-1} = I.$

• Оберненою до одиничної матриці є вона сама:

$\ I_n^{-1} = I_n.$

• Визначник одиничної матриці $\ I_n$ рівний +1, а ранг та слід рівні $\ n.$
• Власними значеннями $\ I_n$ одиничної матриці є (+1) кратності $\ n.$
• Множення довільної матриці на одиничну відповідної розмірності дає в результаті ту ж саму матрицю, тобто вона є нейтральним елементом для множення матриць:

$\ I_mA = AI_n = A.$

Зокрема, одинична матриця $\ I_n$ є нейтральним елементом для GL(n) загальної лінійної групи (групи всіх невироджених квадратних матриць розміру $\ n$).

Див. також

• Теорія матриць
• Нульова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.