Лінійна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ліні́йна а́лгебра — важлива частина алгебри, що вивчає вектори, векторні простори, лінійні відображення та системи лінійних рівнянь. Векторні простори зустрічаються в математиці та її прикладних застосуваннях. Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках.

Предмет лінійної алгебри[ред.ред. код]

До лінійної алгебри відносять: теорію лінійних рівнянь, теорію визначників, теорію матриць, теорію векторних просторів та лінійних перетворень у них, теорію форм (наприклад, квадратичних), теорію інваріант (частково), тензорне числення (частково).

Історія[ред.ред. код]

Історично першим питанням лінійної алгебри було знаходження розв'язків лінійних рівнянь. Побудова теорії для систем таких рівнянь потребувала таких інструментів, як теорія матриць і визначників, і привела до появи теорії векторних просторів.

Лінійні рівняння як рівняння прямих і площин стали природним предметом вивчення після винаходу Декартом і Ферма методу координат (близько 1636). Гамільтон у своїй роботі 1833 представляв комплексні числа у вигляді, як ми б зараз сказали, двовимірного дійсного векторного простору, йому належить відкриття кватерніонів, а також авторство терміну «вектор». Теорія матриць була розроблена у працях Келі (1850-ті). Системи лінійних рівнянь у векторному для матриці вигляді вперше з'явилися, мабуть, у роботах Лагерра (1867). Грассман у роботах 1844 та 1862 року вивчає те, що ми тепер назвали б алгеброю, і його формальний виклад по суті є першою аксіоматичною теорією систем алгебри. У явному вигляді аксіоми лінійного простору сформульовані в роботі Пеано (1888).

Основні поняття[ред.ред. код]

Розвиток лінійної алгебри почався з практичних задач розв'язування лінійних рівнянь та аналітичної геометрії. Поступово сформувалися абстрактні поняття вектора, матриці, векторного простору, скалярного добутку, визначників тощо.

Вектор[ред.ред. код]

Вектор у лінійній алгебрі є узагальненням геометричного тривимірного вектора, що використовується в геометрії та механіці. У розумінні лінійної алгебри вектор — це індексована сукупність чисел або інших математичних об'єктів  (x_1, x_2, \ldots, x_n) , яка має ту властивість, що її можна множити на число, наприклад  \lambda , і результатом цього добутку буде новий вектор  (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) . Вектори можна також додавати, і сумою двох векторів буде вектор, в якому кожному індексу відповідатиме сума відповідних компонент векторів-доданків:

 (x_1, x_2, \ldots, x_n)  +  (y_1, y_2, \ldots, y_n)  =   (x_1 +y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n+ y_n) .

Компонентами векторів  x_i є зазвичай дійсні числа, хоча вони можуть бути іншими математичними об'єктами, наприклад, комплексними числами, векторами або матрицями. Важливо тільки, щоб для них була визначена операція додавання. Аналогічно, число, на яке можна помножити вектор, зазвичай є дійсним числом, але може бути й комплексним, головне, щоб для вектора була визначена операція множення на нього.

Вище вектори записані у вигляді рядка, однак, у лінійній алгебрі їх частіше записують у вигляді стовбчика:

 x = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right)

Векторний простір[ред.ред. код]

Докладніше: Векторний простір

Векторним або лінійним простором називають множину векторів, до якої належать вектори з будь-яким можливим значенням компонент, тобто це множина всіх векторів заданої природи. Окрім того, що у векторному просторі визначені операції додавання векторів та множення на скаляр (число), для того щоб множина векторів складала векторний простір на ній повинен діяти ряд аксіом: комутативності, асоціативності, дистрибутивності додавання і множення на скаляр, існування нульового і протилежного елемента.

Число n, яке визначає кількість елементів вектора називається розмірністю векторного простору. Лінійна алгебра вивчає векторні простори скінченної розмірності. Вектори з нескінченним числом компонент вивчаються іншими розділами математики, зокрема функціональним аналізом.

Лінійне відображення[ред.ред. код]

Між двома векторними просторами можна задати відображення. Лінійна алгебра вивчає відображення, які називаються лінійними. Лінійне відображення пов'язує між собою два векторні простори, побудовані над одним і тим же полем, тобто числа, на які множаться вектори мають мати однакову природу. Воно є гомоморфізмом, тобто кожному елементу однієї множини лінійне відображення ставить у відповідність елемент іншої множини, крім того, воно має ту властивість, що сумі елементів однієї множини відповідає сума відповідних елементів іншої множини, і елементу, помноженому на число, відповідає елемент іншої множини, помножений на те ж число.

Лінійне відображення простору у себе називається лінійним перетворенням.

Матриця[ред.ред. код]

Найважливішим способом задання лінійного відображення є матриця — таблиця чисел або інших математичних об'єктів з двома індексами, наприклад  a_{ij} . За допомогою матриці лінійне відображення  X \rightarrow Y задається у вигляді

 y_i = \sum_{j} a_{ij} x_i ,

тобто кожна компонента вектора y з векторного простору Y є лінійною комбінацією компонент вектора x з векторного простору X з коефіцієнтами, які визнаються елементами матриці A.

У випадку лінійного перетворення матриця перетворення квадратна.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь[ред.ред. код]

Система лінійних рівнянь від трьох змінних визначає набір площин. Точка перетину є розв'язком.

Задача знаходження елемента векторного простору, який при лінійному перетворенні переходить у визначений елемент іншого векторного простору приводить до поняття системи лінійних алгебраїчних рівняннь.

Система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими — це система рівнянь виду


\begin{cases}
   a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
   a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ \dots + a_{2n}x_n = b_2\\
\dots\\
   a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases}

Вона може бути представлена у​ матричній формі як:


\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \ \vdots & \ \ddots & \ \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots\\
x_n 
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m 
\end{pmatrix}

або:

Ax = b.

Вивчення розділу «Лінійна алгебра»[ред.ред. код]

Лінійні простори[ред.ред. код]

Лінійні перетворення[ред.ред. код]

Білінійні та квадратичні форми[ред.ред. код]

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь[ред.ред. код]

Аналітична геометрія[ред.ред. код]

...

Примітки[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналіз