Ермітово-спряжена матриця

Матриця, ермітово-спряжена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.

$(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}$

Визначення також може бути записане так:

$A^* = (\overline{A})^{T} = \overline{A^{T}}$

де

$A^{T} \!$ — транспонування,

$\overline A$ — заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.

Позначення

Ермітове спряження матриці A позначається:

• $\ A^*$ чи $\ A^{H}$ — в лінійній алгебрі,
• $\ A^\dagger$ — в теоретичній фізиці,

Приклад

Якщо

$A=\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}$

тоді

$A^*=\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}$

Властивості

• $\ ({A^*})^* = A$
• $\ (rA)^* = {r}^* {A}^*$
• $\ {(A+B)}^* = {A}^*+{B}^*$
• $\ {(AB)}^* = {B}^* {A}^*$
• $\ ({A^*})^{-1} = ({A^{-1}})^*$
• $\ \det{(A^*)} = (\det{A})^*$
• $\ \operatorname{tr}{(A^*)} = (\operatorname{tr}{A})^*$
• визначник, слід та власні значення $\ A^*$ комплексно-спряжені до відповідних значень $\ A$.
• Для довільної матриці $\ A,$ матриці $AA^*$ та $A^*A$ будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.

Походження

Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.

Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:

$a + ib \equiv \Big(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\Big)$,

то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати одинаковий результат.

Див. також

• Теорія матриць
• Ермітова матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576.