Теорема Вітні про вкладення

Теорема Вітні про вкладення стверджує що

Довільний гладкий $m$-вимірний многовид дозволяє гладке вкладення у $2m$-вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, наприклад, якщо $m$ — ступінь двійки, то $m$-вимірний проективний простір неможливо вкласти в $(2m-1)$-вимірний евклідів простір.

Про доведення

Випадки $m=1$ і $m=2$ «робляться руками». У випадку $m\geqslant 3$ легко бачити, що гладке відображення загального положення $f\colon M\to\R^{2m}$ є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні:

Трюк Вітні

Нехай $p\in\R^{2m}$ є точкою самоперетину і $x,y\in M$ такі, що $f(x)=f(y)=p$. З'єднаємо $x$ и $y$ гладкю. кривою $c\colon[0,1]\to M.$ Тоді $f\circ c$ є замкнута крива в $\R^{2m}$. Побудуємо відображення $h\colon D^2\to\R^{2m}$ з границею $f\circ c$.

У загальному положенні, $h$ є вкладенням (якраз тут ми використовуємо те, що $m\geqslant 3$). Тоді можна продеформувати многовид $M$ вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), «Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces», in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. 347 (2): 248—342, ISBN 13, http://arxiv.org/abs/math/0604045 
• класифікація вкладень (англ.)