Теорема Вітні про вкладення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Вітні про вкладення стверджує що

Довільний гладкий m-вимірний многовид дозволяє гладке вкладення у 2m-вимірний евклідів простір.

Цей результат оптимальний, наприклад, якщо m — ступінь двійки, то m-вимірний проективний простір неможливо вкласти в (2m-1)-вимірний евклідів простір.

Про доведення[ред.ред. код]

Випадки m=1 і m=2 «робляться руками». У випадку m\geqslant 3 легко бачити, що гладке відображення загального положення f\colon M\to\R^{2m} є іммерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні:

Трюк Вітні[ред.ред. код]

Нехай p\in\R^{2m} є точкою самоперетину і x,y\in M такі, що f(x)=f(y)=p. З'єднаємо x и y гладкю. кривою c\colon[0,1]\to M. Тоді f\circ c є замкнута крива в \R^{2m}. Побудуємо відображення h\colon D^2\to\R^{2m} з границею f\circ c.

У загальному положенні, h є вкладенням (якраз тут ми використовуємо те, що m\geqslant 3). Тоді можна продеформувати многовид M вздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. В останнє твердження легко повірити, уявивши картинку.

Література[ред.ред. код]