Теорема Райкова

Теорема Райкова — твердження в теорії ймовірностей. Добре відомо, що якщо випадкові величини $\xi _{1}$ та $\xi _{2}$ незалежні та розподілені по закону Пуассона, то їх сума також розподілена по закону Пуассона. Виявляється, що має місце і зворотнє твердження.

Формулювання теореми

Нехай випадкова величина $\xi$ має розподіл Пуассона та може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин $\xi =\xi _{1}+\xi _{2}$. Тоді розподіли випадкових величин $\xi _{1}$ та $\xi _{2}$ є зсувами розподілів Пуассона.

Коментар

Теорема Райкова аналогічна теоремі Крамера, в якій стверджується, що якщо сума двох незалежних випадкових величин має нормальний розподіл, то кожна з цих випадкових величин також має нормальний розподіл. Ю.В. Линник довів, що згортка нормального розподілу та розподілу Пуассона також має аналогічну властивість (теорема Линника).

Узагальнення на локально компактні абелеві групи

Нехай $X$ — локально компактна абелева група. Позначимо через $M^{1}(X)$ півгрупу за згорткою ймовірнісних розподілів на $X$, а  через $E_{x}$ — вироджений розподіл, зосереджений в точці $x\in X$. Нехай $x_{0}\in X$, $\lambda >0$.

Розподілом Пуассона, породженим мірою $\lambda E_{x_{0}}$, називається зсув розподілу виду

$\mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\dots ).$

Має місце наступне твердження.

Теорема Райкова на локально компактних абелевих групах

Нехай $\mu$ — розподіл Пуассона, породжений мірою $\lambda E_{x_{0}}$. Нехай $\mu =\mu _{1}*\mu _{2},$де $\mu _{j}\in M^{1}(X)$. Якщо $x_{0}$ — або елемент нескінченого порядку, або порядку 2, то $\mu _{j}$ також є розподілом Пуассона. Якщо ж $x_{0}$ — елемент скінченного порядку $n$, $n\neq 2$, то $\mu _{j}$ може бути не розподілом Пуассона.