Розподіл Пуассона

Пуасона

Функція ймовірностей На горизонтальній осі відкладено значення параметру k. Функцію визначено лише для цілих k. Лінії між точками лише для зручності перегляду.
Функція розподілу ймовірностей На горизонтальній осі відкладено значення параметру k.
Параметри	$\lambda \in [0,\infty)$
Носій функції	$k \in \{0,1,2,\ldots\}$
Розподіл ймовірностей	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor, \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ for }k\ge 0$ (де $\Gamma(x, y)$ це неповна гамма функція та $\lfloor k\rfloor$ це ціла частина)
Середнє	$\lambda$
Медіана	зазвичай приблизно $\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
Мода	$\lfloor\lambda\rfloor$ та $\lambda-1$ якщо $\lambda$ - ціле
Дисперсія	$\lambda$
Коефіцієнт асиметрії	$\lambda^{-1/2}\,$
Коефіцієнт ексцесу	$\lambda^{-1}\,$
Ентропія	$\lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}$ (для великих $\lambda$)$\frac{1}{2}\log(2 \pi e \lambda) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} -$                     $\frac{19}{360 \lambda^3} + O(\frac{1}{\lambda^4})$
Твірна функція моментів (mgf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
Характеристична функція	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$

Пуассо́нівський розпо́діл — один з розподілів ймовірностей. Цей розподіл названо на честь французького вченого Сімеона Дені Пуассона. Випадкова величина X називається розподіленою за законом Пуассона (або, що те саме, має пуассонівський розподіл) з параметром λ, якщо для неї виконується рівність:

$Pr(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} \,e^{-\lambda}$, $k \in \mathbb{N}_0.$

(1)

Популярне пояснення

Пуассонівський розподіл справедливий для подій, які мають малу ймовірність чи трапляються нечасто. Ним, наприклад, можна описати ймовірність того, що футболіст заб'є гол у конкретному матчі. Іноді футболіст забиває один гол, рідше два, ще рідше робить хет-трик, Пеле одного разу забив вісім. Найчастіше футболіст не забиває жодного.

Ймовірність забити k голів за гру визначається параметром λ, що є середньою кількістю голів, які забиває футболіст. Якщо λ велике число, то ймовірність має досягати максимуму при якомусь k. В такому випадку мова йде радше про баскетболіста, який може набирати, наприклад, 22 очка за гру в середньому. Тоді ймовірність набрати 2 очка буде малою. Ймовірність набрати 42 очка теж буде малою, а максимум ймовірності буде в районі саме 22 очок.

Доведення

Дослідимо поведінку $P_n(0) = q^n = (1 - p)^n$ за умов теореми Пуассона. За формулою Тейлора при $0 \le p < 1$

$\ln(1 - p) = -p - \frac{p^2}{2} (1 - \theta)^2, 0 \le \theta \le p,$

звідки

$-p(1 + p) \le \ln(1 - p) \le -p, 0 \le p < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$

(2)

Експоненціонуванням (2), помножене на $n$, отримуємо нерівність

$e^{-np(1+p)}\le P_n(0)\le\exp{-np}, p<1-\frac{1}{\sqrt{2}}.$

(3)

Дослідимо тепер поведінку множників правої частини формули Бернуллі. При $n \to \infty$

${n\choose m}=\frac{n!}{m!\;(n-m)!}=\frac{1}{m!}n(n-1)...(n-m+1)=\frac{1}{m!}n^m(1-\frac{1}{n})...(1-\frac{m-1}{n})=\frac{1}{m!}n^m(1+\alpha), \alpha \to 0.$

(4)

Оскільки $np = \lambda(1+\beta), \beta \to 0,$

$p^m=\frac{\lambda^m}{n^m}(1+\beta)^m.$

(5)

З нерівності (3) отримуємо

$\exp \{-\lambda(1+\beta)(1+\lambda(1+\beta)\}\le q^n \le \exp\{-\lambda(1+\beta)\}.$

(6)

Оскільки $\beta \to 0, n \to \infty$ то показники експонент в (6) прямують до $-\lambda.$ А з неперервності екпоненціальної функції маємо

$q^n = e^{-\lambda}+\gamma, \gamma \to 0.$

(7)

Нарешті,

$q^{-m}=\left(1-\frac{\lambda}{n}(1+\beta)\right)^{-m}=1+\delta, \delta \to 0.$

(8)

Перемноживши (4), (5), (7) і (8) i перейшовши до границі, отримаємо формулу Пуассона (1).

Див. також

• Розподіл Бернуллі
• Розподіл ймовірностей
• Схема Бернуллі
• Теорема Пуассона
• Пуассонівський процес