Теорія масового обслуговування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорія масового обслуговування (теорія черг) — розділ теорії ймовірностей, метою досліджень якого є раціональний вибір структури системи обслуговування та процесу обслуговування на основі вивчення потоків вимог на обслуговування, що надходять у систему і виходять з неї, тривалості очікування і довжини черг [1]. У теорії масового обслуговування використовуються методи теорії ймовірностей та математичної статистики.

Історія[ред.ред. код]

Перші задачі ТМО (Теорії масового обслуговування) були розглянуті співробітником Копенгагенської телефонної компанії Агнером Ерлангом період між 1908 і 1922 роками. Стояло завдання впорядкувати роботу телефонної станції і заздалегідь розрахувати якість обслуговування споживачів залежно від числа використовуваних пристроїв.

Є телефонний вузол (обслуговуючий прилад), на якому телефоністки час від часу з'єднують окремі номери телефонів один з одним. Системи масового обслуговування (СМО) можуть бути двох видів: з очікуванням і без очікування (тобто з втратами). У першому випадку виклик (вимога, заявка), що прийшов на станцію в момент, коли зайнята потрібна лінія, залишається чекати моменту з'єднання. У другому випадку він «залишає систему» і не вимагає турбот СМО.

Потік[ред.ред. код]

Однорідний потік[ред.ред. код]

Потік заявок однорідний, якщо:

  • всі заявки рівноправні,
  • розглядаються тільки моменти часу надходження заявок, тобто факти заявок без уточнення деталей кожної конкретної заявки.

Потік без післядії[ред.ред. код]

Потік без післядії, якщо число подій за будь-який інтервал часу (t, t+x) не залежить від числа подій на будь-якому іншому (t, t+x) інтервалі часу.

Стаціонарний потік[ред.ред. код]

Потік заявок стаціонарний , якщо ймовірність появи n подій на інтервалі часу (t, t+x) не залежить від часу t, а залежить тільки від довжини цієї ділянки.

Найпростіший потік[ред.ред. код]

Однорідний стаціонарний потік без післядії є найпростішим або пуассонівським потоком.

Число n\, подій такого потоку, що випадають на інтервал x, розподілено за законом Пуассона:

P(n,x) = \frac{(\lambda x)^n e^{-\lambda x}}{n!}

Пуассонівський потік заявок зручний при вирішенні завдань ТМО. Строго кажучи, найпростіші потоки рідкісні на практиці, проте багато потоків, що моделюються, припустимо розглядати як найпростіші.

Миттєва щільність[ред.ред. код]

Миттєва щільність (інтенсивність) потоку дорівнює границі відношення середнього числа подій, що припадають на елементарний інтервал часу (t, t+x) до довжини інтервалу часу (x), коли останній прямує до нуля.

\lambda (t) = \lim_{x\to 0}\left(\frac{M(t+x)-M(t)}{x}\right)

або, для найпростішого потоку,

\lambda = \frac{M(x)}{x}

де M(x) дорівнює математичному очікуванню числа подій на інтервалі x.

Формула Літтла[ред.ред. код]

~N^{*} = \lambda T

Середнє число заявок у системі дорівнює добутку інтенсивності вхідного потоку на середній час перебування заявки в системі.

Література[ред.ред. код]

  1. Теория массового обслуживания//Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988, стр. 327-328

Бібліографія[ред.ред. код]

  1. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. {{{Заголовок}}}. — 20 000 прим.
  2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания
  3. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания
  4. Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988
  5. Лифшиц А. Л., Мальц Э. А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания
  6. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. Глава 10. Теория массового обслуживания. М., 1969, 368 стр. с илл.

Див. також[ред.ред. код]