Фібоноріал

У математиці Фібоноріал $n!_{F}$, інша назва факторіал Фібоначчі, де $n$ — невід'ємне ціле число, визначається як добуток перших $n$ додатних чисел Фібоначчі, тобто

${n!}_{F}:=\prod _{i=1}^{n}F_{i},\quad n\geq 0,$

де $F_{i}$ — $i^{\rm {th}}$ число Фібоначчі, а $0!_{F}$ — порожній добуток (визначений, як нейтральний елемент, тобто 1).

Фібоноріал $n!_{F}$ визначається аналогічно факторіалу $n!$. Фібонаріальні числа використовуються у визначенні фібономіальних коефіцієнтів аналогічно тому, як факторіали використовуються для визначення біноміальних коефіцієнтів.

Асимптотична поведінка

Ряд фібонаріалів є асимптотичним для функції золотого перетину

$\varphi \colon \ n!_{F}\sim C{\frac {\varphi ^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}}.$

Тут фібонаріальна константа (також її називають факторіальною константою Фібоначчі) $C$ визначається як $C=\prod _{k=1}^{\infty }(1-a^{k})$, де $a=-{\frac {1}{\varphi ^{2}}}$ і $\varphi$ — число золотого перетину.

Наближене значення $C$ становить 1,226742010720 (див. послідовність A062073 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS для більшої кількості знаків).

Майже-фібонаріальні числа

Майже-фібонаріальні числа:

$n!_{F}-1$.

Майже-фібонаріальні прості числа: прості числа серед майже-фібонаріальних чисел.

Квазі-фібонарільні числа

Квазі-фібонаріальні числа:

$n!_{F}+1.$

Квазі-фібонаріальні прості числа: прості числа серед квазі-фібоноріальних чисел.

Зв'язок із $q$-факторіалом

Фібонаріал можна представити через $q$-факторіал і золотий перетин $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$:

$n!_{F}=\varphi ^{\binom {n}{2}}\,[n]_{-\varphi ^{-2}}!.$

Послідовності

 A003266 Добуток перших $n$ ненульових чисел Фібоначчі $F(1),...,F(n)$.

 A059709 та  A053408 для $n$ таких, що $n!_{F}-1$ і $n!_{F}+1$ є простими числами.