Натуральні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Натуральні числа можуть використовуватись для лічби (одне яблуко, два яблука, три яблука, …).

Натура́льні чи́сла — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, … Множину натуральних чисел прийнято позначати знаком \N.

Існують два основних підходи до означення натуральних чисел:

  • числа, що використовуються при лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є аксіоматичне описання системи натуральних чисел за допомогою аксіом Пеано.
  • числа для позначення кількості предметів (відсутність предметів, один предмет, два предмети…) — підхід, прийнятий у роботах Ніколя Бурбакі, де натуральне число означається як потужність скінченних множин; при такому підході, як правило, 0 відносять до натуральних чисел.

Від'ємні та дробові числа не є натуральними числами.

Множина натуральних чисел є нескінченною: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.

Історія натуральних чисел[ред.ред. код]

Поняття натурального числа, викликане потребою лічби предметів, виникло ще в доісторичні часи. Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. У свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об'єднує наприклад, «три людини» та «три озера». Аналіз мов первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовувалися різні словесні обороти. Слово «три» в контекстах «три людини», «три човни» передавалося по-різному. Такі іменовані числові ряди були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованим поняттями «багато», які також були іменованими, тобто висловлювалися різними словами для різних типів об'єктів, такими, як «натовп», «стадо», «купа» тощо.

Спочатку числові терміни мали якісніший характер — відрізняли один, два та більшу кількість. Більші числа одержували додаванням. Наприклад, в австралійського племені ріки Муррей, 1 — енза, 2 — петчевал, 3 — петчевал-енза, 4 — петчевал-петчевал. Але навіть такі здібності людство здобуло після великого проміжку часу, в який користувалися лише з понять «один», «два» та «багато» (ще й досі збереглося плем'я, яке зупинилося на цьому етапові розвитку вмінь числового абстрагування).

Джерелом виникнення поняття абстрактного числа була лічба предметів, що базувалася на зіставленні предметам даної сукупності предметів певної сукупності, що мала роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном були пальці («лічба на пальцях»), що безпосередньо підтверджується мовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об'єктів лічби, але разом з тим пов'язаним з природою сукупності-еталону. Розширення потреб лічби спонукало людей користуватися з інших еталонів лічби, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовуватися нова ідея: позначення деякого певного числа (у більшості народів — десяти) новим знаком, наприклад, зарубкою на іншій паличці.

З розвитком писемності можливості відтворення чисел значно розширились. Спочатку числа стали позначати рисками на матеріалі, що слугував для запису (папірус, глиняні таблички тощо). Потім були введені інші знаки для великих чисел. Вавилонські клинописні позначення чисел, а також «римські цифри», що збереглися до наших днів, ясно свідчать саме про цей шлях формування позначень для чисел.

Великим прогресом було винайдення «цифр». Тепер стало можливим записати будь-яке число обмеженим набором символів. Наприклад, вавилоняни розвинули потужну позиційну систему, що базувалася на цифрах 1 та 10, але фактично її основою було число 60. Зручнішою була індійська позиційна система числення, що дозволяла записати будь-яке натуральне число за допомогою десяти знаків — цифр; вона згодом стала всесвітньо визнаною і досі залишається такою (хоча форма цифр дещо змінювалася; цифри цієї системи ми називаємо арабськими, оскільки система прийшла в Європу через арабів). Таким чином, паралельно з розвитком писемності, поняття натурального числа приймає все більш абстрактну форму, відокремлену від будь-якої конкретності поняття числа, відтворюваного як у формі слів в усній мові, так і в формі позначення спеціальними знаками в письмовій.

Важливим кроком у розвитку поняття натурального числа є усвідомлення нескінченності натурального ряду чисел — потенційної можливості його безмежного продовження. Чітке уявлення про нескінченність натурального ряду відображене в пам'ятниках античної математики (III століття до н.е.), у працях Евкліда й Архімеда. У «Началах» Евкліда встановлюється навіть нескінченність кількості простих чисел, а у книзі Архімеда «Псаміт» — принципи для побудови назв та позначень як завгодно великих чисел, зокрема більших за «число піщинок у світі».

Нуль, спочатку означав відсутність числа; він став розглядатися як число лише після введення від'ємних чисел нуль іноді включають до натуральних чисел).

Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час у науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в термінах будь-яких простіших понять. Лише в середині XIX століття, під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу — з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.

Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття множини було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він означує рівнопотужність множин. Потім число елементів однієї множини означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.

Інше обґрунтування поняття натурального числа базується на аналізі відношення порядку слідування, яке може бути задано за допомогою аксіом. Побудована на цьому принципі система аксіом була сформульована Джузеппе Пеано.

Означення[ред.ред. код]

Аксіоми Пеано[ред.ред. код]

Докладніше: Аксіоми Пеано

Формальне означення натуральних чисел сформулював італійський математик Джузеппе Пеано в 1889 році. Аксіоми Пеано базувалися на розробках Грассмана, хоча саме Пеано надав їм сучасного вигляду. Ці аксіоми дозволили формалізувати арифметику. Після їх введення з'явилася можливість доводити, наприклад, рівність 2 \cdot 2 = 4\,, основні властивості натуральних чисел, а також формалізовано будувати системи цілих, раціональних, дійсних чисел.

Аксіоми Пеано:

Введемо функцію S(x)\,, котра зіставляє числу x\, наступне за ним число (інакше кажучи, число, що слідує за ним).

  1. 1\in\N (одиниця є натуральним числом).
  2. Якщо a\in\N, то S(a)\in\N (число, наступне за натуральним, також є натуральним).
  3. \not\exists a\in\N\ (S(a) = 1) (одиниця не слідує за жодним натуральним числом).
  4. Якщо \ S(b) = a та \ S(c) = a, то \ b = c (натуральне число не може слідувати за двома різними натуральними числами).
  5. Аксіома індукції: Нехай деяке висловлювання, залежне від числа \ n, істинне для \ n = 1 (база індукції). І нехай для кожного натурального \ k з істинності цього висловлювання для \ n=k випливає його істинність для \ n=S(k) (індукційне припущення). Тоді це висловлювання істинне для всіх натуральних \ n.

В оригіналі Джузеппе Пеано першим натуральним числом брав 0, а не 1. Для множини натуральних чисел у цьому «розширеному» сенсі, тобто \ \{ 0, 1, 2, ... \}, зазвичай використовують позначення \N_0 або \Z_{+}. У деяких джерелах і зараз вважають це множиною натуральних чисел, але загальноприйнято вважати, що найменше натуральне число — це 1; натомість множину \N_0 можна назвати множиною цілих невід'ємних чисел.

Теоретико-множинне означення[ред.ред. код]

Згідно з теорією множин, усі об'єкти побудови будь-яких математичних систем можна трактувати як множини. Розвиваючи цю точку зору, натуральні числа можна означати, базуючися на множинах. У теоретико-множинному означенні натуральні числа включають і число 0.

Стандартне означення[ред.ред. код]

У стандартному теоретико-множинному означенні використовується конструкція, запропонована Джоном фон Нейманом. Згідно з нею, натуральні числа ототожнюються з певними множинами, відповідно до таких двох правил:

Тут, як і вище, під S(n)\, ми розуміємо число, наступне відносно n\,. Числа, задані таким чином, називаються ординальними.

Ось ординальні числа та відповідні їм натуральні числа:

  • 0 = \varnothing
  • 1 = \{0\} = \{\varnothing\}
  • 2 = \{0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}
  • 3 = \{0, 1, 2\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}
  • \mathbb{}...
  • n+1 = \{0, 1,..., n\} = n \cup \{n\}
  • \mathbb{}...

Згідно з цим означенням, у множині, що відповідає числу n\,, є рівно n\, елементів (у наївному розумінні) і n\leq m\,, якщо і тільки якщо множина, що відповідає числу n\,, є підмножиною множини, що відповідає числу m\,.

Інші означення[ред.ред. код]

Хоча стандартна конструкція корисна, але вона не є єдиною можливою конструкцією. Наприклад:

Означимо правила так :

  • 0 = \varnothing;
  • \mathbb{}S(n) = \{n\}.

Тоді маємо

  • 0 = \varnothing
  • 1 = \{0\} = \{\varnothing\}
  • 2 = \{1\} = \{\{\varnothing\}\}
  • \mathbb{}...

Або можна означити правила так :

  • 0 = \{\varnothing\};
  • S(n) = n \cup \{n\}.

Тоді маємо

  • 0 = \{\varnothing\}
  • 1 = \{\varnothing, 0\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}
  • 2 = \{\varnothing, 0, 1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}
  • \mathbb{}...

Можливо, найстаріше означення натуральних чисел — означення, звичайно приписуване Фреге та Расселу, в якому кожне конкретне натуральне число n означене як множина всіх множин з n елементами. Це означення може здатися нечітким, але насправді воно може бути строго переформульовано таким чином:

  • 0 = \{\varnothing\} — множина всіх множин без елементів (з нульовою кількістю елементів);
  • S(A) = \{x \cup \{y\} \mid x \in A \wedge y \not\in x\}, для будь-якої множини A.

Тоді 0 буде множиною всіх множин без елементів, 1=S(0)\, буде множиною всіх множин з 1 елементом, 2=S(1)\, буде множиною всіх множин з 2 елементами, і так далі.

Операції над натуральними числами[ред.ред. код]

До арифметичних операцій над натуральними числами прийнято відносити такі операції:

  • Додавання: доданок + доданок = сума.
  • Множення: множник \cdot\, множник = добуток. Крім знака \cdot\,, для позначення множення використовується знак \times\, або відсутність знака (у випадку, коли це не спричинює двозначності запису).
  • Віднімання: зменшуване -\, від'ємник = різниця. При цьому, щоб результат також був натуральним числом, зменшуване повинно бути більшим за від'ємник (а якщо 0 відносити до натуральних чисел, до допустима також рівність зменшуваного та від'ємника). За означенням, a-b=c\,, якщо a = b+c\,.
  • Ділення: ділене / дільник = частка. За означенням, a/b=c\,, якщо a = bc\,. Ділення може позначатися також горизонтальною рискою (ділене зверху, дільник знизу) або двокрапкою. У багатьох випадках ділення виводить за межі множини натуральних і навіть цілих чисел (див. Подільність). Тому запроваджується також інша операція.
  • Ділення з остачею: ділене / дільник = (частка, остача). За означенням, ділене = a, дільник = b, частка = q, остача = r, якщо a = bq + r\,, 0\leq r<b\,. Така дія над натуральними числами завжди здійсненна й однозначна, хоча можливі значення для частки й остачі — це натуральні числа та 0.

Операції додавання та множення є основними, а інші означаються через них, як описано вище; це характерно для будь-яких математичних структур з аналогічними операціями. Зазначимо також, що додавання та множення є замкненими операціями у множині натуральних чисел, оскільки вони завжди дають у результаті натуральне число (якщо були здійснені над натуральними числами); цього не можна сказати про віднімання та ділення.

Основні властивості[ред.ред. код]

  1. Комутативність додавання: \,\! a + b = b + a
  2. Комутативність множення: \,\! ab = ba
  3. Асоціативність додавання: \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Асоціативність множення: \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивність множення відносно додавання: \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Алгебраїчна структура[ред.ред. код]

  • Додавання натуральных чисел утворює моноїд (напівгрупу с нейтральним елементом, а саме 0).
  • Множення утворює моноїд з нейтральним елементом 1.
  • За допомогою замикання відносно додавання-віднімання та множення-ділення утворюються групи цілих чисел \Z та раціональних додатніх чисел \mathbb Q_+ відповідно.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд. — М.: Сов. энциклопедия, 1969 — 1978.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність