Числа Бернуллі

$B_0=1$

$B_1=-\frac12$

$B_2=\frac16$

$B_3=0$

$B_4=-\frac1{30}$

$B_5=0$

$B_6=\frac1{42}$

$B_7=0$

$B_8=-\frac1{30}$

$B_9=0$

$B_{10}=\frac5{66}$

$B_{11}=0$

$B_{12}=-\frac{691}{2730}$

$B_{13}=0$

$B_{14}=\frac76$

$B_{15}=0$

$B_{16}=-7\frac{47}{510}$

Числа Бернулі — послідовність раціональних чисел $B_0, B_1, B_2,...$ знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:

$\sum_{n=1}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1-s}$,

де $C^k_n$ — Біноміальний коефіцієнт.

Формула для чисел Бернуллі

Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула: $B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}C_{n+1}^{k+1}B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}$

Властивості

• Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім $B_1$, дорівнюють нулю, знаки $B_{2n}$ міняються.
• Числа Бернуллі є значеннями при $x=0$ многочленів Бернуллі: $B_n = B_n(0)$.

Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:

• Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:

$\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi$,

• $x\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi$,
• $\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2$.
• Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана $\zeta(s)$ при парних $s=2m$:

$B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.$

Із чого випливає

$B_n=-n\zeta(1-n)$ для всіх n.

• $\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|, n=1,2,...$

У математиці, числа Бернуллі B_n є послідовністю раціональних чисел, яка глибоким пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.

Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є B_n = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B₁ = −1/2, але деякі автори використовують B₁ = +1/2 і деякі пишуть B_n для B_2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	−1/2	1/6	0	−1/30	0	1/42	0	−1/30	0	5/66	0	−691/2730	0	7/6

Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Кова. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi 1713 року.

Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера-Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.

Значення чисел Бернуллі

B_N = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B ₁ = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).

Література

• Абрамович В. Числа Бернуллі, Квант, № 6, 1974;