Дзета-функція Рімана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана \displaystyle \zeta(s) визначена за допомогою ряду:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

У області  \left\{ s : \operatorname{Re}(s) > 1\right\}, цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

Властивості[ред.ред. код]

  • Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:
2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m},

де B_{2m}число Бернуллі. Зокрема,

\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},
\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа \zeta(3) (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне раціональне.

  • При \operatorname{Re}(s)> 1
  • \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}

де \mu(n)функція Мебіуса

  • \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}

де \tau(n) — число дільників числа n

  • {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}

де \nu(n) — число простих дільників числа n

  • \zeta(s) допускає аналітичне продовження на всю комплексну s-площину і є регулярною функцією для всіх значень s, крім s=1, де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
    • Аналітичне продовжена дзета-функція при s\ne 0, s\ne 1 задовольняє рівнянню:
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s),

де \Gamma(z)Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

  • Для функції
\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)
введеною Ріманом для дослідження \zeta(s) і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду
\xi(s)=\xi(1-s)

Нулі дзета-функції[ред.ред. код]

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

\operatorname{Re}(s)< 0,

функція \zeta(s) має лише прості нулі в негативних парних точках: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots. Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі \zeta(s)\not=0 при дійсних s\in (0,1). Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і володіють властивістю симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі \operatorname{Re}(s)=1/2 і лежать у смузі 0\le\operatorname{Re}(s)\le 1, яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції знаходяться на прямій 1/2 + i t.

Історія[ред.ред. код]

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розкладення у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості функції дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Посилання[ред.ред. код]