Дзета-функція Рімана

Дзе́та-фу́нкція Рі́мана $\displaystyle \zeta(s)$ визначена за допомогою ряду:

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$.

У області $\left\{ s : \operatorname{Re}(s) > 1\right\}$, цей ряд збіжний, є аналітичною функцією і допускає аналітичне продовження на всю комплексну площину без одиниці. У цій області також правильне представлення у вигляді нескінченного добутку (тотожність Ейлера)

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$ ,

де добуток береться по усіх простих числах p. Ця рівність є однією з основних властивостей дзета-функції.

Властивості

• Існують явні формули для значень дзета-функції у парних цілих точках:

$2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}$,

де $B_{2m}$ — число Бернуллі. Зокрема,

$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$,

$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$.

Про значення дзета-функції у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа $\zeta(3)$ (Роже Апері, 1978). Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне раціональне.

• При $\operatorname{Re}(s)> 1$

• $\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$

де $\mu(n)$ — функція Мебіуса

• $\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}$

де $\tau(n)$ — число дільників числа $n$

• ${\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}$

де $\nu(n)$ — число простих дільників числа $n$

• $\zeta(s)$ допускає аналітичне продовження на всю комплексну $s$-площину і є регулярною функцією для всіх значень $s$, крім $s=1$, де вона має простий полюс із лишком, рівним 1.
  • Аналітичне продовжена дзета-функція при $s\ne 0, s\ne 1$ задовольняє рівнянню:

$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$,

де $\Gamma(z)$ — Гамма-функція Ейлера. Це рівняння називається функціональним рівнянням Рімана.

• Для функції

$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(\frac s2)\zeta(s)$

введеною Ріманом для дослідження $\zeta(s)$ і званою ксі-функцією Рімана, це рівняння набуває вигляду

$\xi(s)=\xi(1-s)$

Нулі дзета-функції

Основна стаття: Гіпотеза Рімана

Як випливає із функціонального рівняння Рімана, у напівплощині

$\operatorname{Re}(s)< 0$,

функція $\zeta(s)$ має лише прості нулі в негативних парних точках: $0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots$. Ці нулі називаються «тривіальними» нулями дзета-функції. Далі $\zeta(s)\not=0$ при дійсних $s\in (0,1)$. Таким чином, усі «нетривіальні» нулі дзета-функції є комплексними числами, і володіють властивістю симетрії щодо дійсної осі і щодо вертикалі $\operatorname{Re}(s)=1/2$ і лежать у смузі $0\le\operatorname{Re}(s)\le 1$, яка називається критичною смугою. Гіпотеза Рімана полягає у тому, що усі «нетривіальні» нулі дзета-функції знаходяться на прямій $1/2 + i t$.

Історія

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році Ейлером, який і вказав її розкладення у добуток.

Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості функції дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Рімана (1876), де дзета-функція розглянута як функція комплексної змінної.

Посилання

• Дзета-функція Рімана (from MathWorld)