0,(9)

У математиці, періодичний дріб 0.999..., який можна також записати як 0.9, $0.9 with dot over the 9$ або 0.(9), позначає дійсне число, яке, як можна показати, є одиницею. Інакше, символи 0.999... і 1 репрезентують одне й те ж число. Доведення цієї рівності були сформульовані з різними мірами математичної точності, беручи до уваги створення дійсних чисел, припущення передумов, історичний контекст і цільову аудиторію, яким надається перевага.

Алгебраїчні доведення

Алгебраїчні доведення, що показують, що 0.(9) репрезентує число 1, використовують поняття дробів, ділення у стовпчик і цифрові маніпуляції, щоб побудувати перетворення, які зберігають рівність 0.999... і 1.

Дроби та ділення у стовпчик

$\begin{align} \frac{1}{9} & = 0.111\dots \\ 9 \times \frac{1}{9} & = 9 \times 0.111\dots \\ 1 & = 0.999\dots \end{align}$

В іншій формі такого доведення множать ¹⁄₃ = 0.333... на 3.

Маніпуляції з цифрами

$\begin{align} x &= 0.999\ldots \\ 10 x &= 9.999\ldots \\ 10 x - x &= 9.999\ldots - 0.999\ldots \\ 9 x &= 9 \\ x &= 1 \end{align}$

У попкультурі

Математичний фольклор також змальовує 0.(9), зокрема в наступному жарті:

З: Скільки математиків потрібно, щоби вкрутити одну лампочку?
В: 0.(9).