Дріб

8	/ 13	$\frac{8}{13}$	чисельник
чисельник	знаменник		знаменник
Два способи запису одного дробу.

Дріб — у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення. Найчастіше дріб подається у формі $a \over b$, де a називають чисельником, а b — знаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b.

Історично через дроби були побудовані раціональні числа, коли чисельник та знаменник це цілі числа.

Дріб називають спрощеним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів. Наприклад:

• 2/3 (читається дві третини) мешканців міста,
• 1/5 (одна п'ята) кімнати тощо.

Четверта частина торта відсутня Залишені три четверті зображено.

Правильні та неправильні дроби

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним, приклад: $3 \over 5$.

Якщо чисельник більший від знаменника, то такий дріб називається неправильним, приклад: $7 \over 2$.

Неправильні дроби заведено подавати у вигляді мішаних чисел: ${7 \over 2}=3{1 \over 2}$.

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так:

1. виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
2. Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
3. залишок (1) буде чисельником дробової частини.

Взаємно обернені дроби

Два дроби називаються звичайно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто, є взаємно оберненими дробами:
$\frac {a}{b}$ і $\frac {b}{a}$
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник — це саме число. Тобто взаємно оберненими є:
$a$ і $\frac{1}{a}$
Число 1 обернене саме до себе.

Операції над дробами

У цій статті подається спрощене поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число.

1. Додавання

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого^{[Джерело?]}, таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

${{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}}$

2. Віднімання

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

${{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}}$

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

3. Множення

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

${{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}$

Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його численик:
$\frac{a}{b}\times b=a$
Добутком двох взаємно простих дробів є завжди 1:
${a \over b}\times{b \over a}=1$

4. Ділення

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

${{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}$

Скорочення

Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

Пропорції

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

${ a \over b } = { c \over d }$

Похідні пропорції

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

${{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c+ n d} \over {p c + q d}}$

де

$p a + q b \ne 0$

$p c + q d \ne 0$

Вивід:

Із ${ a \over b } = { c \over d }$ слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

${ a } = { {c b} \over d }$

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

${{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = {{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = {{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = {{{b(m c + n d)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} = {{m c + n d} \over {p c + q d}}$

Часткові випадки

${{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d}$,

${{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}$

Очевидно,

$a + b \ne 0$

$c + d \ne 0$

Див. також

• Десятковий дріб
• Ланцюгові дроби
• 0,(9)
• Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби

Джерела

• Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"
• Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI",2008. - 544 с.