Дріб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
8 / 13       \frac{8}{13} чисельник
чисельник знаменник знаменник
Два способи запису одного дробу.

Дріб — у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення. Найчастіше дріб подається у формі a \over b, де a називають чисельником, а bзнаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b.

Історично через дроби були побудовані раціональні числа, коли чисельник та знаменник це цілі числа.

Дріб називають спрощеним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів. Наприклад:

  • 2/3 (читається дві третини) мешканців міста,
  • 1/5 (одна п'ята) кімнати тощо.
Четверта частина торта відсутня Залишені три четверті зображено.

Правильні та неправильні дроби[ред.ред. код]

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним, приклад: 3 \over 5.

Якщо чисельник більший від знаменника, то такий дріб називається неправильним, приклад: 7 \over 2.

Неправильні дроби заведено подавати у вигляді мішаних чисел: {7 \over 2}=3{1 \over 2}.

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так[1]:

  1. Виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
  2. Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
  3. Залишок (1) буде чисельником дробової частини.

Взаємно обернені дроби[ред.ред. код]

Два дроби називаються звичайно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто, є взаємно оберненими дробами:
\frac {a}{b} і \frac {b}{a}
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник — це саме число. Тобто взаємно оберненими є:
a і \frac{1}{a}
Число 1 обернене саме до себе.

Операції над дробами[ред.ред. код]

У цій статті подається спрощене поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число.

1. Додавання[ред.ред. код]

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків. Таким чином, щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого[Джерело?], таким чином ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

{{ a \over b } + { c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {c b} \over {d b} }} = {{a d + c b} \over {b d}}

2. Віднімання[ред.ред. код]

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

{{ a \over b } - { c \over d }} = {{ a \over b } + { -c \over d }} = {{ {a d} \over {b d} } + { {-c b} \over {b d} }} = {{a d - c b} \over {b d}}

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

3. Множення[ред.ред. код]

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

{{ a \over b } * { c \over d }} = {{ a c } \over { b d }}

Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його численик:
\frac{a}{b}\times b=a
Добутком двох взаємно простих дробів є завжди 1:
{a \over b}\times{b \over a}=1

4. Ділення[ред.ред. код]

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

{{ a \over b } : { c \over d }} = {{ a \over b } \over { c \over d }} = {{ a d } \over { b c }}

Скорочення[ред.ред. код]

Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

Пропорції[ред.ред. код]

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

{ a \over b } = { c \over d }

Похідні пропорції[ред.ред. код]

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

{{m a + n b} \over {p a + q b}} = {{m c+ n d} \over {p c + q d}}

де

p a + q b \ne 0
p c + q d \ne 0

Висновок:

Із { a \over b } = { c \over d } слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

{ a } = { {c b} \over d }

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

{{m a + n b} \over {p a + q b}} = 
{{m {{c b} \over d } + n b} \over {p {{c b} \over d } + q b}} = 
{{{{m c b} \over d } + n b} \over {{{p c b} \over d } + q b}} = 
{{{m c b + n b d} \over d } \over {{p c b + q d b} \over d }} = 
{{{b(m c + n d)} \over d } * { d \over {b(p c + q d)} }} =
{{m c + n d} \over {p c + q d}}

Часткові випадки[ред.ред. код]

{{a \pm b} \over b} = {{c \pm d} \over d},
{{a - b} \over {a + b}} = {{c - d} \over {c + d}}

Очевидно,

a + b \ne 0
c + d \ne 0

Див. також[ред.ред. код]

Посилання в тексті[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"
  • Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. - М.: Издательский дом "Додэка- XXI",2008. - 544 с.