Доведення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Доведення у математиці  — процедура, за допомогою якої встановлюють істинність гіпотези чи будь-якого твердження.

Принципи доведення вивчаються спеціальною областю математики — теорією доказів.

Математичний доказ[ред.ред. код]

У математиці доказом називається ланцюжок логічних висновків, що показує, що при якомусь наборі аксіом і правил виводу є правильним деяке твердження. Залежно від контексту, може матися на увазі формальний доказ (побудована за спеціальними правилами послідовність тверджень, записана на формальній мові) або текст на природній мові, за яким за бажанням можна відновити формальний доказ. Доказові твердження в математиці називають теоремами (у математичних текстах зазвичай мається на увазі, що доказ ким-небудь знайдений; виняток з цього звичаю в основному складають роботи з логіки, в яких досліджується само поняття доказу); якщо ані твердження, ані його заперечення ще не доведені, то таке твердження називають гіпотезою. Іноді в процесі доведення теореми виділяються докази менш складних допоміжних тверджень, званих лемами.

Формальними доказами займається спеціальна гілка математики — теорія доказів. Самі формальні докази математики майже ніколи не використовують, оскільки для людського сприйняття вони дуже складні і часто займають дуже багато місця. Звичайний доказ має вид тексту, в якому автор, спираючись на аксіоми і доведені раніше теореми, за допомогою логічних засобів показує істинність деякого твердження. На відміну від інших наук, в математиці недопустимі емпіричні докази: всі твердження доводяться виключно логічними способами. У математиці важливу роль грають математична інтуїція і аналогії між різними об'єктами і теоремами; проте, всі ці засоби використовуються вченими тільки при пошуку доказів, самі докази не можуть ґрунтуватися на таких засобах. Докази, написані на природних мовах, можуть бути не дуже докладними з розрахунку на те, що підготовлений читач сам зможе відновити деталі. Строгість доказу гарантується тим, що його можна представити у вигляді запису на формальній мові (це і відбувається при комп'ютерній перевірці доказів).

Помилковим доказом називається текст, що містить логічні помилки, тобто такий, за яким не можна відновити формальний доказ. У історії математики були випадки, коли видатні учені публікували невірні «докази», проте зазвичай їхні колеги або вони самі досить швидко знаходили помилки. (Одна з теорем, що найчастіше неправильно доводилися, — Велика теорема Ферма. Досі трапляються люди, що не знають про те, що вона доведена, і пропонують нові невірні «докази»). Помилковим може бути тільки визнання «доказу» на природній або формальній мові доказом; формальний доказ помилковим не може бути за визначенням.

У математиці існують невирішені проблеми, рішення яких ученим дуже хотілося б знайти. За докази особливо цікавих і важливих тверджень математичні товариства призначають премії.

Формальне доведення[ред.ред. код]

Коли говорять про формальний доказ, перш за все описують формальну модель — набір (або множину) аксіом, записаних за допомогою формальної мови, і правил виводу. Формальним виводом називається скінчена впорядкована множина рядків, написаних на формальній мові, таких, що кожна з них або є аксіомою, або отримана з попередніх рядків застосуванням одного з правил виводу. Формальним доказом твердження називається формальний вивід, останнім рядком якого є дане твердження. Твердження, що має формальний доказ, називається теоремою, а множина всіх теорем в даній формальній моделі (що розглядається разом з алфавітом формальної мови, множиною аксіом і правил виводу) називається формальною теорією.

Теорія називається повною, якщо для будь-якого твердження доведено або воно, або його заперечення, і несуперечливою, якщо в ній не існує тверджень, які можна довести разом з їхніми запереченнями. Більшість математичних теорій, як показує перша теорема Геделя про неповноту, є неповними, тобто в них існують твердження, про істинність яких нічого сказати не можна. Найпоширенішим набором аксіом у наш час є аксіоматика Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (хоча деякі математики виступають проти використання останньої). Теорія на основі цієї системи аксіом не повна (наприклад, континуум-гіпотеза не може бути ані доведена, ані спростована в ній). Не зважаючи на повсюдне використання цієї теорії в математиці, її несуперечність не може бути доведена методами її самої. Проте, переважна більшість математиків вірять в її несуперечність, вважаючи, що інакше суперечності вже давно були б виявлені.

Методи доказів[ред.ред. код]

Пряме доведення[ред.ред. код]

При прямому доведенні висновок встановлюється через логічну комбінацію аксіом, визначень і раніше доведених теорем. Для прикладу розглянемо доведеення, що сума двох парних цілих чисел також є парною:

кожне з двох парних чисел x та y ми можемо за визначенням записати у вигдяді x = 2a та y = 2b, де a і b — деякі цілі числа, бо x та y діляться на 2. Але тоді сума x + y = 2a + 2b = 2(a + b) також ділиться на 2, так що вона є парною за визначенням.

Цей доказ використовує визначення парних цілих чисел, і також дистрибутивний закон додавання.

Індуктивний доказ[ред.ред. код]

Докладніше у статті Математична індукція

Припустимо, що потрібно встановити справедливість нескінченної послідовності тверджень, занумерованих натуральними числами: P_1, P_2, \ldots, P_n, P_{n+1}, \ldots. Припустимо, що

  1. Встановлене, що P1 вірно. (Це твердження називається базою індукції.)
  2. Для будь-якого n доведено, що якщо вірно Pn, то вірно Pn + 1. (Це твердження називається індукційним переходом.)

Тоді всі твердження нашої послідовності вірні.

Метод перестановки[ред.ред. код]

Метод перестановки встановлює істинність твердження Якщо А, то Б доведенням еквівалентного твердження Якщо не Б, то не А.

Доведення від зворотного[ред.ред. код]

Докладніше у статті Доведення від супротивного

Цей метод доведення відомий також як приведення до абсурду (лат. reductio ad absurdum). Доказ твердження A проводиться таким чином. Спочатку приймають припущення, що твердження A невірно, а потім доводять, що за такого припущення було б вірне деяке твердження B, яке заздалегідь невірне. Отримана суперечність показує, що початкове припущення було невірним, і тому вірне твердження ¬¬A, яке за законом подвійного заперечення рівносильно твердженню A.

Конструктивний доказ[ред.ред. код]

Докладніше у статті Конструктивний доказ

Конструктивний доказ або доведення наданням прикладу — це конструювання конкретного прикладу з властивостями, для того щоб довести, що існують приклади з цими властивостями. Наприклад, Жозеф Ліувілль, для того щоб довести існування трансцендентних чисел, явно сконструював таке число.

Метод витягів[ред.ред. код]

При доведенні методом витягів висновок про істиність твердження досягається розділенням твердження на скінчену кількість випадків і доведенням кожного такого випадку окремо. Кількість таких випадків може бути дуже великою. Наприклад, перший доказ проблеми чотирьох фарб складався з розгляду 1936 випадків. Більшість цих випадків розглядала комп'ютерна програма, а не людина. Сучасніші коротші докази теореми про чотири фарби все одно вимагають розгляду понад 600 випадків.

Ймовірносний доказ[ред.ред. код]

Ймовірносним доказом називають метод, коли існування прикладу доводиться засобами теорії ймовірності. Тільки не треба плутати цей метод з аргументом, що теорема «ймовірно» істинна. Такого типу арументи називаються «правдподібністю» і не можуть вважатися доказом. Ймовірносний доказ, поруч із конструктивним методом, є одним з багатьох шляхів доведення теореми існування.

Комбінаторний доказ[ред.ред. код]

Суть комбінаторного доказу полягає у встановлені еквівалентності різних виразів, так що вони представляють той самий об'єкт, але в різний спосіб. Звичайно, для того щоб показати, що дві інтерпретації дають той самий об'єкт, використовується бієкція.

Неконструктивне доведення[ред.ред. код]

Неконструктивне доведення встановлює, що певний математичний об'єкт повинен існувати () тобто певний X, що задовільняє f(X)), без пояснення, як цей об'єкт може бути встановлений. Часто це робиться приведенням до протиріччя твердження, що такого об'єкта не існує. На противагу цьому, конструктивне доведення встановлює існування об'єкта представленням способу визначення об'єкта.

Відомим прикладом неконструктивного доведення є доказ існування двох ірраціональних чисел a і b, таких що ab є числом раціональним.

  • Або \sqrt{2}^{\sqrt{2}} є раціональним числом і ми маємо приклад (де a=b=\sqrt{2}),
  • або ж (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2 показує, що ми маємо a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} та b=\sqrt{2}.

Ані доказу, ані заперечення[ред.ред. код]

Існує клас математичних тверджень, для яких не існує ані доказу, ані спростування (тобто доведення зворотного твердження) в рамках аксіоматики Цермело — Френкеля, стандартної основи теорії множин. Як приклад можна навести континуум-гіпотезу. Якщо погодитися з непротивоічністю аксіом Френкеля — Цермело, існування таких прикладів нам гарантує перша теорема неповноти Геделя. Чи можна довести певне твердження чи його спростування, не завжди очевидно і може вимагати надзвичайної техніки для встановлення цього факту.

Елементарний доказ[ред.ред. код]

Елементарним доведенням називають докази, що не потребують складного аналізу.

В деяких випадках теореми, як наприклад теорема про асимптотичний розподіл простих чисел, вимагала застосування «вищої» математики. Але з часом були отримані нові докази з використанням елементарної техніки.

Що і треба було довести[ред.ред. код]

Традиційно завершення доказу позначалося абривіатурою «Q.E.D.», від латинського виразу лат. Quod Erat Demonstrandum, Що і треба було довести.

Зараз для позначення того ж завершення доведення частіше використовується знак або , що можна з іронією інтепретувати як надгробний камінь.

Дивіться також[ред.ред. код]