Рівноважні системи числення

Рівноважною (врівноваженою) системою числення, або системою із симетричною основою, називають систему, у якої на кожній позиції може знаходитися елемент числового алфавіту
{-a_n; -a_n-1 … −1; 0; 1 … a_n-1; a_n;}
де p=2n+1 — основа, тобто число можливих значень для цифр числа у даній системі.

Практичне застосування

Така система счислення за основою 3 використовується у комп'ютері «Сетунь».

• Надалі у статті розглядається система при p=3. Для p>3 дії, властивості та принципи зберігаються

Доцільність

Порівняємо дві трійкові системи числення. Одна із них буде симетричною (позначимо 3s), а інша звичайною (3n) трійковою. Старший біт звичайної трійкової системи вказує знак числа («0»="+"; «1»="-")
Розглянемо 4-бітову систему:
Найбільші додатні числа:
0222_3n=+(2*3²+2*3¹+2*3⁰)=18+6+2=26
1111_3s=1*3³+1*3²+1*3¹+1*3⁰=27+9+3+1=40
Найменші від'ємні числа:
1222_3n=-(2*3²+2*3¹+2*3⁰)=-(18+6+2)=-26
1^-1^-1^-1^-_3s=-1*3³-1*3²-1*3¹-1*3⁰=-27-9-3-1=-40     (1^-=-1)
Отже, як видно, така система счислення здатна значно збільшити діапазон чисел за тієї ж основи та бітності. Але варто згадати що ця система має бути лише за непарною основою не меншою за 3.

Арифметичні дії

Зміна знаку. Для зміни знаку достатньо змінити знак кожної цифри числа.
Приклад: −14₁₀=-(11^-1^-1^-)=(1^-111)
Сума

Таблиця додавання

+	1	0	1-
1	11-	1	0
0	1	0	1-
1-	0	1-	1-1

Множення.

Таблиця множення

+	1	0	1-
1	1	0	1-
0	0	0	0
1-	1-	0	1

Закони зміни знаку зберігаються за рахунок властивостей самої системи числення.

Джерела

1. В. Н. Касаткин «ИНФОРМАЦИЯ АЛГОРИТМЫ ЭВМ» — М, «Просвещение», 1991 — с 54,55