Диз'юнктивна нормальна форма

Диз'юнкти́вна норма́льна фо́рма (ДНФ) в булевій логіці — нормальна форма в якій булева формула має вид диз'юнкції декількох кон'юнктів (де кон'юнктами називаються кон'юнкції декількох пропозиційних символів або їх заперечень).

Приклади

Наступні формули записані в ДНФ:

$A\lor B$

$A\!$

$(A\land B)\lor \neg A$

$(A\land B\land \neg C)\lor (\neg D\land E\land F)\lor (C\land D)\lor B$

Наступні формули не є в ДНФ:

$\neg (B\land C)$

$A\lor (B\land (C\lor D))$

Проте ці формули еквівалентні наступним формулам записаним у диз'юнктивній нормальній формі:

$\neg B\lor \neg C$

$A\lor (B\land C)\lor (B\land D).$

Приведення булевої формули до ДНФ

Довільна булева формула може бути приведена до ДНФ за допомогою наступного алгоритму:

Крок 1 : Усі логічні зв'язки виразити через кон'юнкцію, диз'юнкцію і заперечення.

Крок 2 : Скасувати всі подвійні заперечення і використати, де можливо, закони де Моргана. Тобто замінити:

$\lnot \lnot A$ на $A\;$

$\lnot (A\land B)$ на $(\lnot A\lor \lnot B)$

$\lnot (A\lor B)$ на $(\lnot A\land \lnot B)$

Крок 3 : Використати де можливо дистрибутивність кон'юнкції, тобто замінити:

$(A\land (B\lor C))$ $((B\lor C)\land A)$ на $((A\land B)\lor (A\land C))$

Втім, при цьому розмір булевої формули може зрости експоненціально. Так, наприклад, щоб записати наступну формулу буде потрібно 2ⁿ кон'юнктів:

$(X_{1}\lor Y_{1})\land (X_{2}\lor Y_{2})\land \dots \land (X_{n}\lor Y_{n})$

КНФ цієї формули має вигляд:

$(X_{1}\vee \cdots \vee X_{n-1}\vee X_{n})\wedge (X_{1}\land \cdots \land X_{n-1}\land Y_{n})\lor \cdots \lor (Y_{1}\land \cdots \land Y_{n-1}\land Y_{n}).$

Формальна граматика, що описує ДНФ

Наступна формальна граматика описує всі формули, приведені до ДНФ:

<ДНФ> → <кон'юнкт>

<ДНФ> → <ДНФ> ∨ <кон'юнкт>

<кон'юнкт> → <літерал>

<кон'юнкт> → (<кон'юнкт> ∧ <літерал>)

<літерал> → <терм>

<літерал> → ¬<терм>

де <терм> позначає довільну булеву змінну.

Див. також

• Кон'юнктивна нормальна форма
• Нормальна форма формули у логіці предикатів
• Числення висловлень
• Алгоритм Блейка
• Досконала диз'юнктивна нормальна форма

Джерела

• Г. Цейтлін. Елементи теорії булевих функцій. — Київ : Техніка, 1967. — 76 с.(укр.)
• Вітенько І. В. Математична логіка: Курс лекцій. — Ужгород : УжДУ, 1971. — 224 с.(укр.)
• Хромой В. Я. Збірник вправ і задач з математичної логіки. — Київ : Вища школа, 1978. — 160 с.(укр.)
• Дрозд Ю. А. (2005). Основи математичної логіки (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 96. (укр.)
• Безущак О. О., Ганюшкін О. Г. Математична логіка: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2023. — 143 с.(укр.)