Перегляд вихідного коду сторінки Деформація згину

{{unibox}}[[Файл:I beam bending0.png|thumb|right|300px|Згин [[двотавр]]а]]
[[Файл:Beam bending.png|thumb|300px|Схематичне зображення деформації згину навантаженої [[балка (конструкція)|балки]]]]

'''Деформа́ція зги́ну''' або '''згин'''&nbsp;— тип [[деформація|деформації]] [[брус]]а ([[балка (конструкція)|балки]]), що полягає у викривленні осі прямого бруса чи зміні [[Кривина (математика)|кривини]] осі [[кривий брус|кривого бруса]] в результаті виникнення [[згинальний момент|згинальних моментів]] у його перерізах від прикладених навантажень (поперечних сил і/або згинальних моментів у площині, що проходить через вісь бруса).

Локальна деформація різних частин тіла при згинанні різна. Наприклад, у випадку, зображеному на рисунку, верхня частина балки стискається, а нижня&nbsp;— розтягується.

== Основні поняття ==
Переміщення будь-якої точки осі балки, котра працює на згин, виражається вектором, початок якого суміщено з початковим положенням точки, а кінець&nbsp;— з положенням цієї самої точки у деформованій балці. У прямих балках переміщення точок які спрямовані перпендикулярно до початкового положення осі, називають ''[[прогин (техніка)|прогинами]]'' і позначається <math>w(x)</math>. При згинанні відбувається також поворот перерізів стержня навколо осей, що лежать у площинах перерізів і позначається <math>\theta (x)</math>.

Умовна назва кривої лінії, що її форми набуває вісь балки (бруса) при згині у межах [[Пружна деформація|пружної деформації]] носить назву ''[[пружна лінія]]''.

== Види згину ==
Стосовно до бруса розрізняють згин плоский, або простий, та складний. При ''плоскому (простому) згині'' зовнішні сили діють в одній з головних площин бруса (вони проходять через вісь бруса і головні осі інерції поперечного перерізу, див. [[Моменти інерції плоских перерізів]]), при ''складному згині''&nbsp;— в різних площинах. Різновидом складного є косий згин, коли навантаження діють у площині, що не збігається з будь-якою з головних площин.

Залежно від сил, що діють у поперечному перерізі бруса, згин буває ''чистим'' (при наявності лише згинальних моментів), ''поперечним'' (діють поперечні сили), ''[[поздовжній згин|поздовжнім]]'' (випинання під впливом стискувальних сил, спрямованих вздовж осі) і ''поперечно-поздовжнім''.

== Розрахунки при згині ==
[[Файл:Poutre_rayon_courbure.svg|thumb|300px|Елемент балки, вирізаний двома суміжними поперечними перерізами, у здеформованому стані]]
=== Класична теорія ===
Наближений розрахунок прямого бруса на дію згину у пружній стадії на основі класичної теорії ([[теорія балки Ейлера-Бернуллі|теорії Ейлера-Бернуллі]]) проводиться виходячи з наступних допущень:
* поперечні перерізи, що були плоскими і перпендикулярними до осі балки до деформації, залишаються плоскими і перпендикулярними до її зігнутої осі (пружної лінії) після деформування ([[гіпотеза плоских перерізів]]);
* поздовжні волокна бруса при згині не тиснуть одне на одного і не намагаються відірватись одне від одного;
* переміщення і деформації вважаються малими а балка&nbsp;— нерозтяжною;
* розміри перерізів балки вважаються малими у порівняння з радіусом кривини осі балки;
* матеріал балки розглядається як лінійно пружний, що описується [[закон Гука|законом Гука]]

При плоскому згині в будь-якій точці поперечного перерізу балки виникають нормальні (''σ'') і дотичні (''τ'') напруження. Нормальні напруження визначають за формулою Нав’є:
: <math>\sigma = E\varepsilon=E\frac{y}{\rho} = \frac{M_z y}{I_z},</math>
де: ''M<sub>z</sub>''&nbsp;— згинальний момент;
: ''y''&nbsp;— координата досліджуваної точки відносно нейтральної лінії;
: ''I<sub>z</sub>''&nbsp;— момент інерції відносно нейтральної лінії.

Дотичні напруження визначають за [[формула Журавського|формулою Д.&nbsp;І.&nbsp;Журавського]]:
: <math>\tau = \frac{Q_y S_z}{b I_z},</math>
де ''Q<sub>y</sub>''&nbsp;— поперечна сила у перерізі;
: ''S<sub>z</sub>''&nbsp;— статичний момент відносно нейтральної осі частини площі поперечного перерізу, що розташована вище (або нижче) волокна, що розглядається;
: ''<sub>b</sub>''&nbsp;— ширина перерізу на рівні волокна, що розглядається.

Характер зміни згинальних моментів і поперечних сил по довжині бруса зазвичай зображується графіками (епюрами), за якими визначаються їх розрахункові значення.

Ступінь викривлення осі у межах [[пружність|пружності]] залежить від величини згинального моменту і жорсткості бруса. Кривина осі визначається виразом:
: <math>\frac{1}{\rho} = \frac {M_z}{E I_z},</math>
де ''ρ''&nbsp;— [[радіус]] кривини осі зігнутого бруса у розглянутому перерізі; ''Е''&nbsp;— [[модуль Юнга]] матеріалу бруса а ''I<sub>z</sub>'' — [[момент інерції]]. Добуток ''EI<sub>z</sub>'' називають ''жорсткістю балки на згин''<ref>{{Cite web |url=http://www.dstu.dp.ua/Portal/Data/1/5/1-5-kl23.pdf |title=КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ з дисципліни «ОПІР МАТЕРІАЛІВ»  |accessdate=27 листопада 2021 |archive-date=27 листопада 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20211127174115/http://www.dstu.dp.ua/Portal/Data/1/5/1-5-kl23.pdf }}</ref>;

Для випадку малих деформацій кривина наближено виражається другою [[похідна|похідною]] від прогину <math>w(x)</math>, а тому між координатами зігнутої осі та згинальним моментом існує диференціальна залежність:
: <math>\frac{d^2w(x)}{dx^2} = \frac {M_z}{E I_z},</math>
що називається ''диференціальним рівнянням осі зігнутого бруса''. Його рішення називається рівнянням [[пружна лінія|пружної лінії]] балки (бруса).

Відносна деформація при згині визначається як: ''ε''<math>=\frac{y}{\rho}</math>, ''ε''<math>_{max} =\frac{h/2}{\rho}</math>, де ''h'' - висота балки.

У практичних дослідах на згин для визначення відносної деформації ''ε'' вимірюють прогини зразків. Взаємозв’язок між прогином ''f'' , що вимірюється між внутрішніми роликами, розташованими на відстані ''l<sub>0</sub>'', за чотириточковим (круговим) згином та радіусом кривизни ''ρ'' наступний:

<math>\rho =\frac{l^2_0}{8f}</math>. Тоді  ''ε''<math>_{4t} =f\frac{4h}{l^2_0}</math>. Для триточкового згину ця формула буде натупною: ''ε''<math>_{3t} =f\frac{6h}{l^2_0}</math>.

=== Теорія балок Тимошенка ===
{{main|Теорія балки Тимошенка}}
Дана теорія базується на тих же гіпотезах, що й класична, однак гіпотеза плоских перерізів має модифікований вид: приймається, що перерізи, які були до деформації плоскими і нормальними до осі балки, залишаються плоскими, але перестають бути нормальними до зігнутої осі. Таким чином, дана теорія враховує деформацію зсуву й дотичні напруження. Врахування дотичних напружень є важливим для композитів та матеріалів, що мають шарувату структуру (деревина), оскільки руйнування може відбуватись по лінії розмежування шарів від зсуву.

Основні залежності:

: <math>M_z=EI_z\frac{\,d\theta(x)}{\,dx}</math>

: <math>Q_y=\frac{GF}{\alpha}\left (\theta(x)-\frac{\,dw(x)}{\,dx}\right)</math>

де <math>G</math>&nbsp;— [[модуль зсуву]] матеріалу балки, <math>F</math>&nbsp;— площа перерізу, <math>\alpha</math>&nbsp;— коефіцієнт, що враховує нерівномірність розподілу дотичних напружень по перерізу і залежить від його форми. Величина

: <math>\gamma=\theta(x)-\frac{\,dw(x)}{\,dx}</math>

є кутом зсуву.

== Див. також ==
* [[Поздовжній згин]]
* [[Випробування на згинання]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела та література == 
* {{ТС_Буд|частина=Згин|сторінки =99}}
* Опір матеріалів. Підручник / [[Писаренко Георгій Степанович|Г.&nbsp;С.&nbsp;Писаренко]], О.&nbsp;Л.&nbsp;Квітка, Е.&nbsp;С.&nbsp;Уманський. За ред. [[Писаренко Георгій Степанович|Г.&nbsp;С.&nbsp;Писаренка]]&nbsp;— К.: [[Вища школа (видавництво)|Вища школа]], 1993.&nbsp;— 655 с.&nbsp;— ISBN 5-11-004083-4.
* Опір матеріалів: Навч. посіб. для студентів ВНЗ. Рекомендовано МОН / Шваб'юк В. І.&nbsp;— К., 2009.&nbsp;— 380 с.
* ''Мильніков О.&nbsp;В.'' [http://elartu.tntu.edu.ua/bitstream/123456789/512/1/Mylnikov_А-Strength_of_Materials_Lecture_notes__2010.pdf Опір матеріалів. Конспект лекцій] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220120220317/http://elartu.tntu.edu.ua/bitstream/123456789/512/1/Mylnikov_А-Strength_of_Materials_Lecture_notes__2010.pdf |date=20 січня 2022 }} / Олександр Володимирович Мильніков.&nbsp;— Т.: Видавництво ТНТУ, 2010.&nbsp;— 257 с.
{{Види деформацій}}
{{Physics-stub}}

[[Категорія:Деформація]]
[[Категорія:Опір матеріалів]]