Користувач:Галактион/Аксіоматика теорії множин

Подстраница "Користувач:Галактион/Аксіоматика теорії множин" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Аксіоматика теорії множин". Галактион 05:28, 5 березня 2010 (UTC)

О двух точках зрения на множества

Множества можно рассматривать:

а) глазами натуралиста (например так, как геологи рассматривают [природные] алмазы),

б) глазами естествоиспытателя (например так, как физики рассматривают [искусственные] алмазы).

Если множества рассматривать глазами учёного-натуралиста, тогда множество натуральных чисел $~\mathbb {N}$, множество целых чисел $~\mathbb {Z}$ и прочие множества будут выглядеть как "природные объекты" (феномены), которые возникли "само собой" (спонтанно) в незапамятные времена.

Рассматривая множества глазами натуралиста, мы можем и обязаны добросовестно описать:

а) свойства наблюдаемых множеств

(например:

множество $~\mathbb {N}$ и множество $~\mathbb {Z}$ - счётны, то есть $~|\mathbb {N} |=|\mathbb {Z} |=\aleph _{0}$,

в множестве $~\mathbb {N}$ есть наименьший элемент, то есть $~\exists n(n\in \mathbb {N} \ \land \ \forall m(m\in \mathbb {N} \ \land \ n\neq m\to n<m))$,

в множестве $~\mathbb {Z}$ нет наименьшего элемента, то есть $~\neg (\exists n(n\in \mathbb {Z} \ \land \ \forall m(m\in \mathbb {Z} \ \land \ n\neq m\to n<m)))$),

б) отношения между наблюдаемыми множествами

(например, множество $~\mathbb {N}$ строго содержится в множестве $~\mathbb {Z}$, то есть $~\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$).

Если множества рассматривать глазами учёного-естествоиспытателя, тогда множество натуральных чисел $~\mathbb {N}$, множество целых чисел $~\mathbb {Z}$ и прочие множества будут выглядеть как результаты [целенаправленной] деятельности организмов вида Homo sapiens.

Рассматривая множества глазами естествоиспытателя, мы можем понять:

а) происхождение наблюдаемых множеств, включая происхождение множеств $~\mathbb {N} ,\ \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R}$ и $~\mathbb {C}$,

б) свойства наблюдаемых множеств,

в) отношения между наблюдаемыми множествами.

Кроме того, рассматривая множества глазами естествоиспытателя, мы можем предсказывать появление в математике новых множеств или создавать множества с требуемыми свойствами.

О наивных и аксиоматических теориях множеств

• В "наивных теориях множеств" множества рассматриваются с феноменологической точки зрения, то есть глазами математика-наблюдателя (натуралиста).

В "аксиоматических теориях множеств", включая теорию ZFC (Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice), множества рассматриваются с каузальной точки зрения, то есть глазами математика-творца (естествоиспытателя).

• В "наивных теориях множеств" понятие "множество" разъясняется на примерах (колоды [игральных] карт, стада коз на лугу, популяции божьих коровок, совокупности звёзд на небе, ...).

В "аксиоматических теориях множеств" понятие "множество" декларируется (например так: "В предложении $~v\in w$ со сказуемым $~\in$ подлежащее $~v$ и дополнение $~w$ называются множествами.").

• В "наивных теориях множеств" рассматриваются любые [реальные и математические] множества (например, галактики и функции).

В "аксиоматических теориях множеств" рассматриваются только математические множества. Какие-то из этих множеств могут быть подходящими моделями для реальных или математических объектов. Например, множество $~\{\{x\},\ \{x,y\}\}$ является подходящей, но не единственной моделью упорядоченной пары $~\langle x,y\rangle$.

• В "наивных теориях множеств" мы можем пренебречь множествами, которые, по нашему мнению, не имеют смысла (например, мы можем пренебречь "множеством единорогов" или "множеством двухголовых орлов" и не пренебрегать ни множеством носорогов, ни множеством белоголовых орланов). Иначе говоря, в "наивных теориях множеств" мы вправе игнорировать множества, которые нам не нравятся.

В "аксиоматических теориях множеств" мы не можем пренебречь ни одним множеством, которое логически выводится из аксиом теории каким бы странным выведенное множество нам не казалось.

• В "наивных теориях множеств" множество без единого элемента $~\varnothing$ - это парадоксальный объект, потому что интуитивно мы ожидаем, что множеству принадлежит много элементов или, в самом крайнем случае, принадлежит один элемент.

В "аксиоматических теориях множеств" пустое множество $~\varnothing$ - это [фундаментальная] постоянная.

• В "наивных теориях множеств" множества даны нам в реальных или мнимых ощущениях. Записывая эти ощущения, мы можем получать и распространять:

а) верные суждения (например, рациональные числа $~\mathbb {Q}$ - часть вещественных чисел $~\mathbb {R}$, то есть $~\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$),

б) ошибочные суждения (например, не существует множества без ничего, то есть $~\neg (\exists w\forall u(u\notin w))$),

в) правдоподобные суждения (например, существует уникальное множество всех множеств, то есть $~\exists !u\forall v(v\in u)$).

Следовательно, в "наивных теориях множеств" весьма вероятно появление "миражей" типа [Канторовского] "множества всех множеств". Эти математические "миражи" являются аналогами:

1) физических "миражей" (например, теплорода и тепловой смерти Вселенной),

2) механических "миражей" (например, вечного двигателя),

3) химических "миражей" (например, реакции трансмутации),

4) физиологических "миражей" (например, "фактов" образования условных рефлексов у одноклеточных организмов),

5) географических "миражей" (например, Земли Санникова),

6) социальных "миражей" (например, "бесспорной возможности" построения коммунизма в Советском Союзе),

7) этнографических "миражей" (например, "советского народа", исчезнувшего в одночасье).

В "аксиоматических теориях множеств" множества либо постулируются, либо логически выводятся. Следовательно, в "аксиоматических теориях множеств" крайне маловероятно появление "миражей", включая появление Расселовского "множества всех множеств [без самого себя]".

• В "наивных теориях множеств" математическим глаголам $~\in ,\ \subset ,\ \subseteq ,\ \mathrm {Trans} ,\ \mathrm {Ord} ,\ ...$ отведена вспомогательная роль. Эти глаголы предназначены для записи наблюдений (например, наблюдения $~\diamondsuit \in \{\diamondsuit ,\ \heartsuit \}$ и наблюдения $~\{\heartsuit \}\subset \{\diamondsuit ,\ \heartsuit \}$).

В "аксиоматических теориях множеств" математическому глаголу $~\in$ и его производным $~\subseteq ,\ \subset ,\ \mathrm {Trans} ,\ ...$ отведена главная роль. По существу, "аксиоматические теории множеств" это теории о правилах употребления второго фундаментального глагола математики $~\in$ (принадлежать, to belong to) и его связи с первым фундаментальным глаголом математики $~=$ (быть идентичным, to be equal to).

• В "наивных теориях множеств" наблюдательности и интуиции отведена главная роль, а логике - вспомогательная роль.

В "аксиоматических теориях множеств" логике отведена главная роль, а наблюдательности и интуиции - вспомогательная роль.

Об истории наивных и аксиоматических теорий множеств

Сначала математики (например, Георг Кантор) описывали свойства множеств и отношения между множествами. Это имело место во второй половине 19-го века и сопровождалось появлением "наивных теорий множеств".

Затем математики (например, Эрнст Цермело) поняли происхождение математических множеств, их свойств и отношений между ними. Это имело место в первой половине 20-го века и сопровождалось появлением "аксиоматических теорий множеств".

Парадоксы "наивных теорий множеств" (например, парадокс Рассела) стимулировали переход от "наивных теорий множеств" к "аксиоматическим теориям множеств". Образно говоря, парадоксы "наивных теорий множеств" были катализаторами процесса перехода от натуралистического взгляда на множества к каузальному взгляду на множества.

Благодаря группе Французских математиков, которые публиковали свои работы от имени отставного генерала Николя Бурбаки из Нанкаго, "аксиоматические теории множеств" полностью вытеснили "наивные теории множеств" из всех разделов математики. Поэтому в настоящее время:

а) о "наивных теориях множеств", их становлении и отличиях между ними знают разве что лица, которые посвятили себя изучению истории математики второй половины 19-го века,

б) все "наивные теории множеств" объединяют в одну "наивную теорию множеств",

в) "[объединённая] наивная теории множеств" имеет полумифологическое содержание и похожа на легендарную "теорию теплорода".

Следы вымерших "наивных теорий множеств" сохранились в терминологии "аксиоматических теорий множеств". Например:

1) в предложении $~u\in v$ множество $~u$ называют "элементом [множества]", а множество $~v$ называют "множеством",

2) в предложении $~u\in v\ \land \ v\in w$ множество $~u$ называют "элементом [множества]", множество $~v$ называют "множеством", а множество $~w$ называют "семейством [множеств]".

3) в предложении $~u\subseteq v$ множество $~u$ называют "подмножеством", а множество $~v$ называют "множеством",

4) в предложении $~u\subset v$ множество $~u$ называют "собственным подмножеством", а множество $~v$ называют "множеством".

Также пережитком "наивных теорий множеств" является обычай писать "элементы [множеств]" прописными буквами, а "множества" - заглавными (например, пишут $~u\in V$ вместо того, чтобы писать $~u\in v$).

Об изложении теории множеств в "наивном" и "аксиоматическом" стилях

Теорию множеств можно излагать:

а) в "наивном" (феноменологическом) стиле,

б) в "аксиоматическом" (каузальном) стиле.

• Изложении теории множеств в "наивном" стиле может представлять интерес:

а) для лиц со слабой математической подготовкой (например, школьников),

б) для лиц, склонных к созерцательному образу жизни (например, пенсионеров).

Изложение теории множеств в "аксиоматическом" стиле может представлять интерес:

а) для лиц с хорошей математической подготовкой (например, студентов),

б) для лиц, склонных к творческой интеллектуальной деятельности (например, инженеров).

• Излагая теорию множеств в "наивном" стиле, нужно активно использовать иллюстрации (например, диаграммы Эйлера-Венна). Современное программное обеспечение позволяет создавать разнообразные иллюстрации к простейшим понятиям теории множеств: объединению [множеств], пересечению [множеств], разности [множеств], симметрической разности [множеств] и т. п.

Излагая теорию множеств в "аксиоматическом" стиле, нужно избегать пользоваться "картинками". Это следует делать по той же причине, по которой мы избегаем жестикуляции и сюсюканья при [деловом] разговоре.

Излагая теорию множеств в "аксиоматическом" стиле, нужно обратить внимание читателя, что каждая "аксиоматическая теория множеств" может быть использована:

а) в педагогических целях (например, при разъяснении будущим учителям математики происхождения числовых множеств, их свойств и отношений между ними),

б) в научных целях (например, при переформулировании того или иного раздела математики, как это сделал А.Н. Колмогоров с теорией вероятностей),

в) в производственных целях (например, при создании моделей реальных или математических объектов).

Об энциклопедическом изложении теории множеств в "аксиоматическом" стиле

Поскольку изложение теории множеств в "аксиоматическом" стиле адресовано лицам с хорошей математической подготовкой (студентам и аспирантам), постольку это изложение можно выполнить [лаконично и вразумительно] следующим образом:

1. Краткое введение в аксиоматическую теорию множеств на Украинском языке,

2. Изложение аксиом теории множеств на математическом языке (на примере аксиом теории ZFC).

3. Пояснения к аксиомам теории множеств на Украинском языке или математическом языке.

4. Примечания к аксиомам теории множеств.

5. Краткие сведения об истории появления аксиом теории множеств.

Аксиомы теории ZFC (как пример "аксиоматической теории множеств")

• Аксиомы "заготовительного участка" [теории ZFC]

$~a\vdash \quad \exists x\forall y\ (y\notin x)$

$~a\vdash \quad \exists x\ (\varnothing \in x\ \land \ \forall y\ (y\in x\ \to \ y\cup \{y\}\in x)\ )$

• Аксиомы "производственного цеха" [теории ZFC]

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=s_{1}\ \lor \ y=s_{2})$

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \forall u\ (u\in y\to u\in s)\ )$

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in s\ \land \ y\in u)\ )$

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y\in s\ \land \ \Phi [y])$

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in s\ \land \ \varphi [u,y]))\ \ \leftarrow \ \ \exists ^{\{0,1\}}y\ (\varphi [s,y])$

• Аксиомы "сортировочного цеха" [теории ZFC]

$~a\vdash \quad \forall y\ (y\in s_{1}\leftrightarrow y\in s_{2})\ \to \ s_{1}=s_{2}$

$~a\vdash \quad s\neq \varnothing \ \to \ \exists y\ (y\in s\ \land \ \forall z\ (z\in y\to z\notin s)\ )$

${\begin{aligned}a\vdash \quad s\neq \varnothing \ \to \ (\forall y\ (y\in s\to y\neq \varnothing )\ \land \ \forall y_{1}\forall y_{2}\ (y_{1}\neq y_{2}\ \land \ \{y_{1},y_{2}\}\subseteq s\to y_{1}\cap y_{2}=\varnothing )\\\ \to \ \exists z\forall y\ (y\in s\ \to \ \exists u\ (y\cap z=\{u\})))\end{aligned}}$

Примечания

1. Естественным дополнением к аксиомам ZFC являются аксиомы тождества (аксиомы "теории идентичности"), а именно:

$~a\vdash \quad s=s$

$~a\vdash \quad s_{1}=s_{2}\ \to \ (\Phi [s_{1}]\to \Phi [s_{2}])$

Аксиомы тождества и все следствия из них верны в любой математической теории, включая теорию ZFC. В частности, это относится к предложению

$~t\vdash \quad s_{1}=s_{2}\ \to \ \forall y\ (y\in s_{1}\leftrightarrow y\in s_{2})$.

2. Аксиомы теории ZFC следует отличать от теорем теории ZFC.

Примеры теорем [теории ZFC]

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}x\forall y\ (y\notin x)$

$~t\vdash \quad \varnothing \subseteq x$

3. Аксиомы теории ZFC следует отличать от определений теории ZFC.

Примеры определений [теории ZFC]

Определение "переходного" глагола $~\subseteq$ (содержаться в)

$~d\vdash \quad x\subseteq y\ \leftrightarrow \ \forall z\ (z\in x\to z\in y)$

Определение "переходного" глагола $~\subset$ (быть частью)

$~d\vdash \quad x\subset y\ \leftrightarrow \ x\subseteq y\ \land \ x\neq y$

Определение "непереходного" глагола $~\mathrm {Trans}$

$~d\vdash \quad \mathrm {Trans} (x)\ \leftrightarrow \ \forall y\ (y\in x\to y\subseteq x)$

Определение "непереходного" глагола $~\mathrm {Ord}$

$~d\vdash \quad \mathrm {Ord} (x)\ \leftrightarrow \ \mathrm {Trans} (x)\ \land \ \forall y\ (y\in x\to \mathrm {Trans} (y)\ )$

Определение выражения $~x\cup y$

$~d\vdash \quad z\in x\cup y\ \leftrightarrow \ z\in x\ \lor \ z\in y$

Определение выражения $~x\cap y$

$~d\vdash \quad z\in x\cap y\ \leftrightarrow \ z\in x\ \land \ z\in y$

Определение выражения $~x\setminus y$

$~d\vdash \quad z\in x\setminus y\ \leftrightarrow \ z\in x\ \land \ z\notin y$

Определение выражения $~\cup x$

$~d\vdash \quad z\in \cup x\ \leftrightarrow \ \exists y\ (y\in x\ \land \ z\in y)$

Определение выражения $~\cap x$

$~d\vdash \quad z\in \cap x\ \leftrightarrow \ \forall y\ (y\in x\ \to \ z\in y)$

Определение упорядоченной пары $~\langle x,y\rangle$ (по Куратовскому)

$~d\vdash \quad \langle x,y\rangle =\{\{x\},\ \{x,y\}\}$

4. Аксиомы теории ZFC следует отличать от гипотез теории ZFC.

Пример гипотезы [теории ZFC]

$~h\vdash \quad x\subseteq \mathbb {R} \ \land \ |x|\not <|\mathbb {N} |\ \to \ |x|=|\mathbb {N} |\ \veebar \ |x|=|\mathbb {R} |$

Пояснение к аксиомам ZFC

Теория ZFC предназначена для "добычи", "производства" и "сортировки" [математических] объектов, которые называются множествами и используются для моделирования других [реальных или математических] объектов, включая:

1) упорядоченные пары,

2) функции,

3) ординалы, которым соответствуют порядковые [имена] числительные "первый", "второй" , "третий", ... ,

4) кардиналы, которым соотвествуют количественные [имена] числительные "один", два, "три", ...

Простейшее (так называемое "атомное") предложение теории ZFC имеет вид

$~x\in y$

Это предложение состоит из подлежащего $~x$, сказуемого $~\in$ и дополнения $~y$, при этом:

а) подлежащее $~x$ и дополнение $~y$ каталогизируются как множества теории ZFC,

б) [ради удобства и согласно обычаю] подлжежащее $~x$ называют "элементом [множества]", а дополнение $~y$ - "множеством",

в) никаких реальных элементов в теории ZFC нет и быть не может.

Множества теории ZFC могут иметь "этикетки". Например:

1) множество $~\varnothing$ имеет "этикетку" $~0$, то есть число $~0$,

2) множество $~\{\varnothing \}$ имеет в качестве "этикетки" число $~1$,

3) множество $~\{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\}$ имеет в качестве "этикетки" число $~2$,

4) множество $~\{\{\varnothing \},\ \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}$ имеет в качестве "этикеток" неупорядоченную $~\{1,2\}$ и упорядоченную $~\langle 0,1\rangle$ пары.

Аксиомы "добычи" множеств в теории ZFC

В теории ZFC "добываются" только два множества, а именно множество [по имени] $~\varnothing$ и множество [по имени] $~\infty$.

Остальные множества теории ZFC "производятся" из $~\varnothing$ или $~\infty$.

Примечание

Чтобы записать любое число [в двоичной системе счисления], необходимо обзавестись цифрами $~0$ и $~1$.

Чтобы получить множества, требуемые в математике и её приложениях, необходимо обзавестись множествами $~\varnothing$ и $~\infty$.

В теории ZFC "добыча" $~\varnothing$ и $~\infty$ осуществляется путём постулирования этих множеств.

Постулат о существовании $~\varnothing$ - это предложение

$~a\vdash \quad \exists x\forall y\ (y\notin x)$,

которое называется аксиомой пустого множества и не имеет ни одной свободной переменной.

Постулат о существовании $~\infty$ - это предложение

$~a\vdash \quad \exists x\ (\varnothing \in x\ \land \ \forall y\ (y\in x\to y\cup \{y\}\in x))$,

которое называется аксиомой бесконечности и не имеет ни одной свободной переменной.

Примечание

Некоторые математики отвергают аксиому бесконечности, что не мешает им успешно работать в комбинаторике и других разделах математики, где не требуется множество $~\infty$.

Отвергнув оба постулата, мы лишимся "сырья" [для "производства" других множеств]. Стало быть, мы не сможем "производить" множества. Стало быть, мы не сможем "сортировать" множества.

Из изложенного следует, что нам нужем хотя бы один из двух вышеуказанных постулатов, чтобы приступить к "производству" множеств. Например, если мы сохраним постулат о существовании множества $~\varnothing$ и отвергнем постулат о существовании множества $~\infty$, тогда мы:

а) сможем "производить" и "сортировать" разнообразные конечные множества,

б) не сможем ни "производить", ни "сортировать" разнообразные бесконечные множества.

Обратите внимание, что сохранив любой из двух вышеуказанных постулатов, мы непременно обзаведёмся множеством $~\varnothing$.

Дополнение

Если преобразовать "аксиому бесконечности" в предложение

${\begin{aligned}t\vdash \quad \exists x\ (\varnothing \in x\ \ \land \ \ \{\varnothing \}\in x\ \ \land \ \ \{\varnothing ,\ \{\varnothing \}\}\in x\ \ \land \ \ \{\varnothing ,\ \{\varnothing \},\ \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\in x\ \ \land \\\ \forall y\ (y\in x\to y\cup \{y\}\in x))\end{aligned}}$

и заменить в этом предложении первые три множества их "этикетками" $~0,\ 1$ и $~2$

$~t\vdash \quad \exists x\ (0\in x\ \land \ 1\in x\ \land \ 2\in x\ \ \ \land \ \ \{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\in x\ \ \land \ \ \forall y\ (y\in x\to y\cup \{y\}\in x))$,

тогда легко догадаться, что "аксиома бесконечности" подразумевает существование множества натуральных чисел $~\mathbb {N}$.

Дополнительные сведения об аксиомах "пустого множества" и "бесконечности" можно почерпнуть в статьях "Axiom of the empty set" и "Axiom of infinity".

Аксиомы "производства" множеств в теории ZFC

• Если у нас есть цифры $~0$ и $~1$, а также надлежащие правила преобразования этих цифр в числа, тогда мы можем записать любое число в двоичной системе счисления.

Если у нас есть множества $~\varnothing$ и $~\infty$, а также надлежащие правила преобразования этих множеств в другие множества, тогда мы можем получить 'многие множества, требуемые в математике и её приложениях.

• Используя цифры $~0$ и $~1$ и руководствуясь надлежащими правилами преобразования [этих цифр в числа], мы можем "производить" числа [в двоичной системе счисления] в "бесконечном ассортименте".

Используя множества $~\varnothing$ и $~\infty$ и руководствуясь надлежащими правилами преобразования [этих множеств в другие множества], мы можем "производить" множества в "бесконечном ассортименте".

В теории ZFC "производство" множеств, требуемых в математике и её приложениях, осуществляется на трёх "производственных участках", а именно:

а) "участке первичной переработки [множеств]",

б) "отладочном участке",

в) "сборочном участке".

Деятельность "сборочного участка" в "производственном цеху" теории ZFC регламентируется одним предложением, а именно

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=\ ?_{1}\ \lor \ y=\ ?_{2})$,

каковое предложение называется аксиомой пары и имеет [две] свободные переменные "$~?_{1}$" и "$~?_{2}$".

Примечание

В "аксиоме пары" допускается замещать свободные переменные одинаковыми или разными множествами, которые "добыты" или "произведены" в теории ZFC или любой другой "аксиоматической теории множеств", если эта теория не сильнее, чем теория ZFC.

Пример допустимой замены свободных переменных в "аксиоме пары"

$~t\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=\varnothing \ \lor \ y=\varnothing )$

Множество $~\varnothing$ "добывается" в теории ZFC и замещает [обе] переменные "$~?_{1}$" и "$~?_{2}$". В результате указанного замещения мы "произведём" множество $~\{\varnothing \}$ из "добываемого" множества $~\varnothing$.

В "аксиоме пары" не допускается замещать свободные переменные множествами произвольной природы, включая [одноклеточную] Amoeba proteus и [многоклеточного] Capra sibirica.

Пример недопустимой замены свободных переменных в "аксиоме пары"

$~\exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=\spadesuit \ \lor \ y=\clubsuit )$

Объекты $~\spadesuit$ и $~\clubsuit$ не "добываются" и не "производятся" в теории ZFC.

В "аксиоме пары" допускается замещать свободные переменные "этикетками" множеств, которые "добыты" или "произведены" в теории ZFC.

Пример допустимой замены' свободных переменных "этикетками" множеств теории ZFC

$~t\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=0\ \lor \ y=1)$

Число $~0$ - "этикетка" множества $~\varnothing$, "добываемого" в ZFC. Число $~1$ - "этикетка" множества $~\{\varnothing \}$, "производимого" в ZFC.

Множество $~\varnothing$, "добываемое" в ZFC, это модель числа $~0$. Множество $~\{\varnothing \}$, "производимое" в ZFC, это модель числа $~1$.

Можно доказать, что "аксиома пары" равносильна предложению

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y=\ ?_{1}\ \lor \ y=\ ?_{2})$

Дополнительные сведения об "аксиоме пары" можно почерпнуть в статье "Axiom of pairing".

Деятельность "участка первичной переработки [множеств]" в "производственном цеху" теории ZFC регламентируется двумя предложениям, а именно:

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \forall u\ (u\in y\ \to \ u\in \ ?))$,

каковое предложение называется аксиомой булеана (аксиомой множества подмножеств) и имеет [одну] свободную переменную "$~?$",

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in \ ?\ \land \ y\in u))$,

каковое предложение называется аксиомой объединения и имеет [одну] свободную переменную "$~?$".

Примечание

В "аксиомах булеана" и "объединения" допускается замещать свободную переменную любым множеством, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC или любой другой "аксиоматической теории множеств", если эта теория не сильнее, чем теория ZFC.

В "аксиомах булеана" и "объединения" не допускается замещать свободную переменную множеством произвольной природы, включая [одноклеточную] Paramecium caudatum и [многоклеточного] Capra caucasica.

В "аксиомах булеана" и "объединения" допускается замещать свободную переменную "этикеткой" множества, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC.

Можно доказать, что "аксиома булеана" равносильна предложению

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \forall u\ (u\in y\to u\in \ ?))$

Можно доказать, что "аксиома объединения" равносильна предложению

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in \ ?\ \land \ y\in u))$

Дополнительные сведения об аксиомах "булеана" и "объединения" можно почерпнуть в статьях "Axiom of power set" и "Axiom of union".

Деятельность "отладочного участка" в "производственном цеху" теории ZFC регламентируется двумя предложениями, а именно:

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y\in \ ?\ \land \ \Phi [y])$,

каковое предложение называется схемой выделения, имеет [одну] свободную предметную переменную "$~?$" и [одну] свободную предикатную переменную $~\Phi$ при связанной [предметной] переменной $~y$.

$~a\vdash \quad \exists z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in \ ?\ \land \ \varphi [u,y]))\ \leftarrow \ \exists ^{\{0,1\}}y\ (\varphi [?,y])$,

каковое предложение называется схемой преобразования, имеет [одну] свободную предметную переменную "$~?$" и [одну] свободную предикатную переменную $~\varphi$ при свободной переменной "$~?$" и связанной [предметной] переменной $~y$.

Примечание

В "схемах выделения" и "преобразования" допускается замещать свободную предметную переменную любым множеством, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC или любой другой "аксиоматической теории множеств", если эта теория не сильнее, чем теория ZFC.

В "схемах выделения" и "преобразования" не допускается замещать свободную предметную переменную множеством произвольной природы.

В "схемах выделения" и "преобразования" допускается замещать свободную предметную переменную "этикеткой" множества, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC.

В "схеме выделения" $~\Phi [y]$ - это математическое предложение [о связанной переменной $~y$], в котором не допускается упоминать ни связанную переменную $~z$, ни свободную переменную "$~?$". Эта оговорка требуется для того, чтобы доказать предложение

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ y\in \ ?\ \land \ \Phi [y])$

В "схеме преобразования" $~\varphi [?,y]$ - это математическое предложение [о свободной переменной "$~?$" и связанной переменной $~y$], в котором не допускается упоминать связанную переменную $~z$. Эта оговорка требуется для того, чтобы доказать предложение

$~t\vdash \quad \exists ^{\{1\}}z\forall y\ (y\in z\ \leftrightarrow \ \exists u\ (u\in \ ?\ \land \ \varphi [u,y]))\quad \leftarrow \quad \exists ^{\{0,1\}}y\ (\varphi [?,y])$

Дополнение

"Схему выделения" можно назвать "аксиомой ручной отладки множеств", потому что математики пользуются разнообразными предложениями $~\Phi [y]$ также, как специалисты пользуются штихелями, надфелями, часовыми отвёртками и иными доводочными инструментами.

"Схему преобразования" можно назвать "аксиомой механизированной отладки множеств", потому что математики пользуются разнообразными предложениями $~\varphi [u,y]$ также, как специалисты пользуются прецизионными станками.

Используя "схему выделения" или "схему преобразования", мы убираем ("выколупываем") из исходного множества "$~?$" ненужные нам элементы. В результате мы всегда получаем множество $~z$, в котором не больше элементов, чем в исходном множестве "$~?$".

Дополнительные сведения о схемах "выделения" и "преобразования" можно почерпнуть в статьях "Axiom schema of specification" и "Axiom schema of replacement".

Аксиомы "сортировки" множеств в теории ZFC

В теории ZFC сформулированы ответы на следующие "сортировочные" вопросы:

1) Какие множества следует считать идентичными?

2) Какие множества, помимо множества $~\varnothing$, следует считать множествами теории ZFC?

3) Есть ли среди множеств теории ZFC сходные множества?

Примечание

Вопросы, приведённые выше, аналогичны следующим "сортировочным" вопросам:

1) Какие [полудрагоценные и драгоценные] камни следует считать одинаковыми?

2) Какие камни, помимо алмазов, следует считать драгоценными камнями?

3) Есть ли среди драгоценных камней сходные камни?

• Один из неформальных ответов на вопрос "Какие множества следует считать идентичными?" звучит так: "Если множества одинаковы по [своему] составу, тогда они идентичны."

В теории ZFC ответ на вопрос "Какие множества следует считать идентичными?" имеет вид

$~a\vdash \quad \forall y\ (y\in \ ?_{1}\ \leftrightarrow \ y\in \ ?_{2})\ \to \ ?_{1}=\ ?_{2}$,

каковое предложение называется аксиомой объёмности (аксиомой экстенсиональности) и имеет две свободные переменные "$~?_{1}$" и "$~?_{2}$".

Примечание

В "аксиоме объёмности" допускается замещать свободные переменные произвольными множествами, включая:

а) множества, которые "добыты" или "произведены" в теории ZFC,

б) множества, которые "добыты" или "произведены" в любой другой "аксиоматической теории множеств",

в) множества, которые не "добыты" или не "произведены" ни в какой из известных "аксиоматических теорий множеств".

"Аксиома объёмности" не является специфической аксиомой теории ZFC. Эта аксиома выражает "мировозренческий принцип":

а) если жидкость в бутылке имеет состав $~\mathrm {C_{2}H_{5}OH}$ и жидкость в стакане имеет состав $~\mathrm {C_{2}H_{5}OH}$, тогда указанная "обутыленная" жидкость [химически] идентична указанной "устаканенной" жидкости,

б) если пар имеет состав $~\mathrm {H_{2}O}$ и жидкость имеет состав $~\mathrm {H_{2}O}$, тогда эти пар и жидкость [химически] идентичны.

"Аксиома объёмности" даёт лишь один из возможных ответов на вопрос: "Какие множества следует считать идентичными?" Поэтому в теории ZFC, частью которой является названная аксиома, следует ожидать появления парадоксов "приборного происхождения". Например, мы вправе ожидать, что:

а) множество "ZFC-вода" будет идентично множеству "ZFC-лёд", потому что эти множества не отличаются по составу,

б) множество "ZFC-алмаз" будет идентично множеству "ZFC-графит", потому что эти множества не отличаются по составу.

Кроме того, мы вправе ожидать, что разные множества теории ZFC будут моделями одного и того же математического объекта. Например, множество $~\{\{0\},\ \{0,1\}\}$ отличается от множества $~\{0,\ \{0,1\}\}$ по составу, но оба множества являются моделями одного и того же математического объекта, а именно упорядоченной пары $~\langle 0,1\rangle$.

"Аксиома объёмности" подразумевает следующий критерий ["химической"] идентичности множеств

$~t\vdash \quad x=y\quad \leftrightarrow \quad \forall s\ (s\in x\ \leftrightarrow \ s\in y)$,

выводимый из названной аксиомы и аксиом тождества (аксиом "теории идентичности"), о которых говорилось в примечании к разделу "Аксиомы теории ZFC".

Дополнение

"Аксиому объёмности" можно и нужно воспринимать как аксиому связи между первым фундаментальным глаголом математики $~=$ и вторым фундаментальным глаголом математики $~\in$.

Другими примерами аксиом связи являются:

а) аксиома связи между действием $~+$ (сложить) и действием $~\cdot$ (умножить)

$~a\vdash \quad x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} \ \land \ z\in \mathbb {R} \ \to \ x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$,

б) аксиома связи между глаголом $~<$ (быть меньше, чем) и действием $~+$ (сложить)

$~a\vdash \quad x\in \mathbb {R} \ \land \ y\in \mathbb {R} \ \land \ z\in \mathbb {R} \quad \to \quad (x<y\ \to \ x+z<y+z)$.

Дополнительные сведения об "аксиоме объёмности" можно почерпнуть в статье "Axiom of extensionality"

• Неформальный ответ на вопрос "Какие множества следует считать множествами теории ZFC?" звучит так: "Множествами теории ZFC следует считать только те множества, которые "добыты" или "произведены" в теории ZFC."

В теории ZFC ответ на вопрос "Какие множества, помимо множества $~\varnothing$, следует считать множествами теории ZFC?" имеет вид

$~a\vdash \ \ \exists V_{assal}\ (V_{assal}\in \ ?)\ \ \to \ \ \exists V_{assal}\ (V_{assal}\in \ ?\ \ \land \ \ \forall v_{avasour}\ (v_{avasour}\in V_{assal}\ \to \ v_{avasour}\notin \ ?))$,

каковое предложение называется аксиомой регулярности (аксиомой основания, аксиомой фундирования) и имеет одну свободную переменную "$~?$".

Примечание

В "аксиоме регулярности" допускается замещать свободную переменную любым множеством, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC.

В "аксиоме регулярности" не допускается замещать свободную переменную произвольным множеством.

В "аксиоме регулярности" допускается замещать свободную переменную "этикеткой" множества, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC.

"Аксиома регулярности" является специфической аксиомой теории ZFC. Названная аксиома - это аксиома "отдела технического контроля" теории ZFC: она позволяет "выбраковывать" множества, "произведённые" в теории ZFC, для которых не выполняется заключение "аксиомы регулярности"

$~\exists V_{assal}\ (V_{assal}\in \ ?\ \land \ \forall v_{avasour}\ (v_{avasour}\in V_{assal}\ \to \ v_{avasour}\notin \ ?)\ )$.

Обратите внимание, что "выбраковка" является допустимой и распространённой математической процедурой. Например, в Древнегреческой задаче "О золотом сечении отрезка единичной длины"

$~x={\frac {1-x}{x}}\ \land \ \neg (x\leq 0)$

"выбраковка" неположительных (бессмысленных) решений осуществляется с помощью предложения $~\neg (x\leq 0)$.

Дополнение

"Аксиома регулярности" выражает принцип [неполной феодальной лестницы]: "[Каждый] вассал [хотя бы одного] моего вассала - не мой вассал."

Если бы "аксиома регулярности" имела вид

${\begin{aligned}\exists V_{assal}(V_{assal}\in S_{uzerain})\quad \to \quad \forall V_{assal}\forall v_{avasour}\ (v_{avasour}\in V_{assal}\ \land \ V_{assal}\in S_{uzerain}\\\ \to \ v_{avasour}\notin S_{uzerain})\end{aligned}}$,

тогда бы она выражала принцип [полной феодальной лестницы]: "[Каждый] вассал [каждого] моего вассала - не мой вассал."

Дополнительные сведения об "аксиоме регулярности" можно почерпнуть в статье "Axiom of regularity".

• Неформальный ответ на вопрос "Есть ли среди множеств теории ZFC сходные множества?" входит в "Сборник ответов Дельфийского оракула" и звучит так: "Если среди множеств теории ZFC есть сходные множества, тогда из них можно собрать [по меньшей мере одну] коллекцию."

В теории ZFC ответ на вопрос "Есть ли среди множеств теории ZFC сходные множества?" имеет вид

${\begin{aligned}a\vdash \quad ?\neq \varnothing \ \land \ \forall s\ (s\in \ ?\to s\neq \varnothing )\ \land \ \forall s_{1}\forall s_{2}\ (s_{1}\neq s_{2}\ \land \ \{s_{1},s_{2}\}\subseteq \ ?\to s_{1}\cap s_{2}=\varnothing )\\\ \to \quad \exists ^{\{1,...\}}c_{ollection}\forall s_{et}\ (s_{et}\in \ ?\to \exists ^{\{1\}}r_{epresentative}\ (r_{epresentative}\ \in \ c_{ollection}\cap s_{et})\ )\end{aligned}}$,

каковое предложение называется аксиомой выбора и имеет одну свободную переменную "$~?$".

Примечание

В "аксиоме выбора" допускается замещать свободную переменную любым множеством, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC и удовлетворяет "аксиоме регулярности" (проверено в "отделе технического контроля" теории ZFC).

В "аксиоме выбора" не допускается замещать свободную переменную произвольным множеством, а также множеством теории ZFC, если оно не удовлятворяет "аксиоме регулярности".

В "аксиоме выбора" допускается замещать свободную переменную "этикеткой" любого множества, которое "добыто" или "произведено" в теории ZFC и удовлетворяет "аксиоме регулярности".

"Аксиома выбора" является специфической аксиомой теории ZFC и подразумевает следующий критерий сходства двух множеств:

${\begin{aligned}d\vdash \quad x\ \ \mathrm {resembles} \ \ y\ \ \leftrightarrow \ \ \exists f_{amily}\exists s'\exists s''\ (\{x,y\}\subseteq s'\ \land \ s'\neq s''\ \land \ \{s',s''\}\subseteq f_{amily}\ \land \\\ \forall s\ (s\in f_{amily}\ \to \ s\neq \varnothing )\ \land \\\ \forall s_{1}\forall s_{2}\ (s_{1}\neq s_{2}\ \land \ \{s_{1},s_{2}\}\subseteq f_{amily}\to s_{1}\cap s_{2}=\varnothing ))\end{aligned}}$

Указанный критерий сходства множеств может быть как полезным, так и бесполезным дополнением к критерию идентичности множеств. Аналогичным образом, "аксиома выбора" может быть как полезным, так и бесполезным дополнением к "аксиоме объёмности".

Дополнительные сведения об "аксиоме выбора" можно почерпнуть в статье "Axiom of choice".

Примечание к аксиомам теории ZFC

1. Что есть и чего нет в теории ZFC

В теории ZFC есть ответы на следующие вопросы:

1) Из какого "сырья" следует "производить" множества?

(Множества следует "производить" из $~\varnothing$ и $~\infty$.),

2) Какими правилами руководствоваться при "производстве" множеств?

(При "производстве" множеств следует руководствоваться "производственными аксиомами" теории ZFC.),

3) Какими правилами руководствоваться при "сортировке" множеств?

(При "сортировке" множеств следует руководствоваться "сортировочными аксиомами" теории ZFC.).

В теории ZFC нет ответов на следующие вопросы:

• Можно ли "произвести" интересующее нас множество в "производственном цеху" теории ZFC?
• Как "произвести" интересующее нас "множество" в "производственном цеху" теории ZFC?

Как только математики осознали, что теория ZFC не содержит алгоритмов "производства" (рецептов "приготовления") множеств, так сразу же математики приступили к разработке теории алгоритмов. Это произошло в 30-х годах 20-го века, то есть приблизительно через 10 лет после того, как была сформулирована последняя аксиома теории ZFC.

Краткие сведения об истории появления аксиом теории ZFC

Смотри указанные сведения в статьях:

• Zermelo-Fraenkel set theory
• Аксиоматика теории множеств

--Галактион 07:23, 28 квітня 2009 (UTC)