Користувач:Галактион/Рівномірна границя послідовності функцій

Подстраница "Користувач:Галактион/Рівномірна границя послідовності функцій" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Рівномірна границя послідовності функцій". Галактион 12:28, 6 березня 2010 (UTC)

Дополнение к статье "Рiвномiрна границя послiдовностi функцiй"

${\begin{aligned}d\vdash \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \neq \varnothing \ \ \land \ \ \mathrm {S_{f}} =\{\mathrm {f} |\ \ \mathrm {f} \in {\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )\ \land \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \}\ \ \land \ \mathrm {u} :\mathbb {N} \mapsto \mathrm {S_{f}} \\\ \land \quad \mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \quad \to \quad (\mathrm {[The\ sequence]\ u\ converges\ uniformly\ to\ v.} \ \leftrightarrow \ \lim _{n\to \infty }\mathrm {u} _{n}=\mathrm {v} )\end{aligned}}$

Примечание

$~\mathbb {X} \times \mathbb {Y}$ - декартово произведение подмножества вещественных чисел $~\mathbb {X}$ на подмножество вещественных чисел $~\mathbb {Y}$.

$~{\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )$ - булеан декартового произведения $~\mathbb {X} \times \mathbb {Y}$.

$~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y}$ - функция, определённая на множестве $~\mathbb {X}$ со значениями в множестве $~\mathbb {Y}$.

$~\mathrm {S_{f}}$ - множество вещественных функций вещественного переменного, определённых на множестве $~\mathbb {X}$ со значениями в множестве $~\mathbb {Y}$.

$~\mathrm {u} :\mathbb {N} \mapsto \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {u} =\{\langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle |\ \ \langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle \in \mathbb {N} \times \mathrm {S_{f}} \ \ \land \ \ \mathrm {u} _{n}=\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \ \land \ \ y=u_{n}(x)\}\ \}$

$~\mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {v} =\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \ \land \ \ y=v(x)\}$

$~\lim _{n\to \infty }\mathrm {u} _{n}=\mathrm {v} \ \Leftrightarrow \ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \to \ |u_{n}(x)-v(x)|<\varepsilon )$

Разные формы записи утверждения "[The sequence] $~\mathrm {u} :\mathbb {N} \mapsto \mathrm {S_{f}}$ converges uniformly to $~\mathrm {v}$"

$~\lim _{n\to \infty }\mathrm {u} _{n}=\mathrm {v} \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }\ \sup _{x\in X}\ |u_{n}(x)-v(x)|=0\quad \Leftrightarrow \quad \mathrm {u} _{n}\rightrightarrows \mathrm {v}$

$~t\vdash \ \lim _{n\to \infty }\mathrm {u} _{n}=\mathrm {v} \ \to \ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)=v(x)\ )$