Користувач:Knu mechmat/Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування

Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування

Означення

Припустимо, що f ∈ R([a, b]) (отже, f ∈ R([a, x]) для довільного x ∈ [a, b]). Покладемо

$\varphi (x):=\int _{a}^{x}f(u)\,du,\quad x\in [a,b].$

Вочевидь, φ(а) = 0.

Властивості

• Якщо f ∈ R([a, b]), то φ ∈ С([a, b]).

• Якщо f ∈ C([a, b]), то φ ∈ С¹([a, b]), причому для довільного x ∈ [a, b]: φ'(x) = f(x).

• Якщо f ∈ C([a, b]), то f має первісну на [a, b]. Первісними для f на [a, b] будуть функції вигляду φ(x) + c, c ∈ ℝ.

Формула Лейбніца

Шаблон:Plain theorem Нехай

1. f : ℝ → ℝ iнтегровна за Рiманом по кожному вiдрiзку;
2. f має первiсну на ℝ;
3. функцiї a, b : ℝ → ℝ диференцiйовнi на ℝ.

Тодi

${\frac {d}{dx}}\int _{a(x)}^{b(x)}f(u)\,du=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x),\quad x\in \mathbb {R} .$