Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, виходячи з його означення (як границя інтегральних сум) зазвичай досить громіздке, однак все ж таки можливе.
{{knu mechmat}}
→ Обчислимо інтеграл
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\sin x\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dcc3780e40509b04dd93ccec11c2599fc37010)
Покладемо f(x) = sin x, x ∈ [a, b]. Оскільки f ∈ C([a, b]), то f ∈ R([a, b]), тому для обчислення інтегралу досить знайти границю довільної послідовності інтегральних сум. Розглянемо рівномірне розбиття λn відрізку [a, b] на n рівних частин, Δx = (b − a) / n, і запишемо інтегральну суму
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(f,\,\lambda _{n},\,\{c_{i}|\lambda _{n}\})&=\Delta x\sum _{k=1}^{n}\sin(a+k\Delta x)=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}2\sin(a+k\Delta x)\sin {\frac {\Delta x}{2}}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}\sum _{k=1}^{n}{\Big (}\cos(a+k\Delta x-{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(a+kh+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&={\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9e95277b8a2b18af13cce2e4174655498a583e)
Спрямувавши |λn| до нуля, отримаємо, що
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}\sin x\,dx&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x}{2\sin {\frac {\Delta x}{2}}}}{\Big (}\cos(a+{\frac {1}{2}}\Delta x)-\cos(b+{\frac {1}{2}}\Delta x){\Big )}=\\&=\cos b-\cos a.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c7fa410a7fe28676e99eea17311a7612942cb5)
{{knu mechmat}}
→ Обчислимо інтеграл
![{\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3128b4ef720135ab99c8f9f9dd3a7d6917993d8)
Покладемо f(x) = ex, x ∈ [0, 1]. Оскільки f ∈ C([0, 1]), то f ∈ R([a, b]). Отже, у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функцій
![{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{|\lambda _{n}|\rightarrow 0}s(f;\lambda _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18fb6a08fea474bb1a2228694adc327a974fb7f)
де λn — рівномірне розбиття відрізка [0, 1] на n рівних частин. Отже, маємо
![{\displaystyle {\begin{aligned}s(f;\,\lambda _{n})&=\sum _{i=0}^{n-1}e^{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&={\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf9c9e5658f385e1177ccebe79f031f4f1724d9)
звідки випливає, що
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {e-1}{e^{\frac {1}{n}}-1}}\cdot {\frac {1}{n}}=\\&=e-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a880fe6e0bd3b9152a2a99ea9b533a7c43dcee14)
{{неінтегровної обмеженої функції}}
→ Покажемо, що функція Діріхле
![{\displaystyle D(x):={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d8beff2b6c79ec4dedbd49dabca204f4f3a248)
не інтегровна на довільному відрізку [a, b] ⊂ R. Тут Q — це множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.
На довільному відрізку [α, β] ⊂ R знайдуться як
раціональна, так і ірраціональна точки. Тому при довільному розбитті λ відрізка [a, b] маємо
![{\displaystyle s(f,\,\lambda )=0,\qquad S(f,\,\lambda )=b-a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bbb09c0d786210a367858f0c116c0c4da45e05)
звідки у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функції D ∉ R([a, b]).