|
Це — особиста чернетка користувача Mkwan12. |
- область в евклідовому просторі
Якщо функція , то очевидно приймає значення на межі , яке будемо позначати . Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на межі для довільної функції (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини дорівнює нулю).
Нехай - обмежена область і є . Тоді існує такий лінійний оператор
, що:
1), якщо ;
2).
Оператор визначенній у теоремі, назазивається оператором сліду, а - слідом функції на межі .
1. Припустимо спочатку, що і межа області є плоскою в деякому околі точки , тобто існує таке число , що .
Позначимо
Виберемо функцію таку, що на і на . Позначимо i . Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо
(*)
2. Якщо межа не є плоскою в околі точки , то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення i застосувавши (*) виводимо нерівність
де .
3.Оскільки - компакт, то існує скінченне число точок і відкритих множин , які містять і
та .
Підсумовуючи останні нерівності за отримаємо нерівність
Для довільної функції визначемо оператор . Очевидно, що він є лінійним і
(**)
4. Тепер розглянемо довільну функцію . Існує послідовність така, що
в при
Для кожної функції визначена функція і має місце нерівнічть (**). Тоді
.
Отже, - фундаментальна послідовність у . Границею цієї послідовності позначимо через , тобто . Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності
при , отримаємо
.
Т.А. Мельник "Простори соболєва та узагальнені розв'язки задач математичной фізики"