Користувач:NAME XXX/Електродинаміка 1

Основні статті:

Теорія відносності.

Електродинаміка_2.

Сила Лоренца

Попередні перетворення

Основний розділ: Перетворення Лоренца для координат та для радіус-вектора. Інтервал.

Попередні перетворення  

Для початку, треба вивести допоміжні перетворення.

$\ \Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}$.

Перетворення для радіус-вектора:

$\ \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-\gamma \mathbf {u} t$.

При $\ t=0$ вираз перетворюється у наступний:

$\ \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}\qquad (.1)$.

Якщо піднести ліву і праву частину до квадрату, можна буде отримати:

$\mathbf {r} '^{2}=\mathbf {r} ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\qquad (.2)$.

Виведення.  

$\mathbf {r} '^{2}=\mathbf {r} ^{2}+2\Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{c^{2}}}+\Gamma ^{2}u^{2}{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{c^{4}}}=\mathbf {r} ^{2}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{u^{2}}}\left[2(\gamma -1)+(\gamma -1)^{2}\right]=\mathbf {r} ^{2}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{c^{2}}}\left[{\frac {(\gamma -1)c^{2}}{u^{2}}}(\gamma +1)\right]=$

$=\left|\Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\right|=|\mathbf {r} |^{2}+{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}$.

Якщо скалярно домножити $\ (.1)$ на $\ \mathbf {u}$, то можна буде отримати:

$\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )+\Gamma {\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(1+\gamma -1)=\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\qquad (.3)$.

Накінець,

$\ (\mathbf {v} '\cdot \mathbf {r} ')={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\qquad (.4)$.

Виведення.  

$\ (\mathbf {r} '\cdot \mathbf {v} ')=\left(\left[\mathbf {r} +{\frac {\Gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right]\cdot {\frac {\mathbf {v} +{\frac {\Gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )-\gamma \mathbf {u} }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}\right)={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}+{\frac {{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\left(2+{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\left(1+{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}\right)}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}=$

$\ =\left|2+{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}=\gamma +1={\frac {\gamma ^{2}}{\Gamma }},\quad 1+{\frac {\Gamma u^{2}}{c^{2}}}=\gamma \right|={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}-{\frac {\gamma ^{2}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$.

Старе виведення.  

$\ (\mathbf {v} '\cdot \mathbf {r} ')=|\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}},\mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} -\gamma \mathbf {u} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}|=\left(\left[\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}\right]\cdot {\frac {\mathbf {v} -\gamma \mathbf {u} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}\right)=$

$\ ={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}+{\frac {1}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}\!{\left[-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )+\Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}+\Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\Gamma \gamma u^{2}{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}+{\frac {\Gamma ^{2}u^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{4}}}\right]}$.

Сума третього та шостого доданків без дільника:

$\ \Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\!{\left(1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)}=\Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\!{\left(1+{\frac {u^{2}}{c^{2}}}{\frac {(\gamma -1)}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}\right)}=\Gamma \gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}$.

Сума другого та п'ятого доданків без дільника:

$\ -\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )-\gamma \Gamma u^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}=-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )(1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}})=-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )(1+\gamma -1)=-\gamma ^{2}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$.

Сума другого-шостого доданків без дільника:

$\ (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\!{\left[\Gamma \gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}+\Gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}-\gamma ^{2}\right]}=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\!{\left[{\frac {\Gamma (\gamma +1)}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )-\gamma ^{2}\right]}=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\!{\left[-\gamma ^{2}(1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})\right]}=-\gamma ^{2}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )\!{\left[1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}\right]}$.

Загальна сума з дільником:

$\ (\mathbf {v} '\cdot \mathbf {r} ')={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}+{\frac {-\gamma ^{2}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )(1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )}{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}-\gamma (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$.

Вираз для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}=\mathbf {F} '+\gamma {\frac {\mathbf {u} (\mathbf {F} '\cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')}{c^{2}}}\qquad (.5)$.

Власне сила Лоренца

Власне сила Лоренца.  

Базовим виразом для аналізу взаємодії заряда $\ Q$ із деяким пробним зарядом $\ q$ є закон Кулона: для статичних зарядів у вакуумі відносно ІСВ, що покоїться, можна записати, що сила їх взаємодії рівна

$\ \mathbf {F} ={\frac {qQ}{|\mathbf {r} |^{3}}}\mathbf {r}$.

А як буде виглядати вираз для сили взаємодії цих зарядів відносно ІСВ, що довільно рухається? Для відповіді на це питання спочатку треба розглянути можливість інтерпретації закону Кулона як граничного (нерелятивістського) закону. Це можна зробити за рахунок двох наступних міркувань.

Нехай у вакуумі знаходяться два заряди, що скріплені пружинкою. Заряди розглядаються відносно ІСВ, у якій вони знаходяться у стані спокою протягом досить великого проміжку часу. Пружинка забезпечує статичність зарядів, а розтяг пружинки чисельно характеризує силу взаємодії зарядів. Якщо прибрати пружинку та розглянути деяке мале відхилення від статичного стану, наприклад, одного заряду, то можна проаналізувати час, за який другий заряд "відчує" зміну стану першого, тим самим експериментально визначивши швидкість розповсюдження взаємодії між зарядами. Проте в рамках експерименту (заряди скріплені пружинкою) про швидкість розповсюдження взаємодії нічого не можна сказати, оскільки система є статичною. Таким чином, закон Кулона, який описує взаємодію статичних зарядів, не несе, без додаткових припущень, ніякої інформації про швидкість розповсюдження взаємодії між зарядами. А отже, релятивістське та класичне описання взаємодії зарядів у статичному випадку співпадають.

Нехай тепер аналізується випадок, коли один з зарядів (пробний) рухається, а інший, у полі якого рухається пробний заряд, є нерухомим. Оскільки заряд, що рухається, є пробним, то він не впливає на статичне поле нерухомого заряду. А отже, знову ж таки, нерухомий заряд діє на нього із силою, вираз для якої дається законом Кулона.

Тепер можна розглянути загальний випадок, зробивши наступні викладки. Нехай відносно деякої ІСВ $\ S'$ заряд $\ Q$, що створює поле, покоїться та знаходиться у початку координат, а заряд $\ q$ рухається зі швидкістю $\ \mathbf {v}$. Після цього можна перейти до ІСВ $\ S$, відносно якої ІСВ $\ S'$ має швидкість $\ \mathbf {u}$. Тоді результуючий вираз для сили відносно ІСВ $\ S$ буде даватися оберненим перетворенням $\ (.5)$. Якщо використати постулат лоренц-інваріантності заряду, врахувати, що у штрихованій системі, відповідно до міркувань, розглянутих вище,

$\ \mathbf {F} '={\frac {qQ'}{|\mathbf {r} '|^{3}}}\mathbf {r} '={\frac {qQ}{|\mathbf {r} '|^{3}}}\mathbf {r} '\qquad (.6)$,

і підставити $\ (.6)$ у $\ (.5)$, то, з урахуванням попередніх перетворень $\ (.1)-(.4)$, можна буде отримати вираз для сили $\ \mathbf {F}$, що діє на заряд $\ q$ відносно ІСВ $\ S$:

$\ \mathbf {F} ={\frac {qQ\gamma }{\left(\mathbf {r} ^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[\mathbf {r} +{\frac {1}{c^{2}}}[\mathbf {v} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]]\right]\qquad (.7)$.

Виведення.  

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma (1-{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}})}}={\frac {Qq}{|\mathbf {r} '|^{3}}}\left[\mathbf {r} '+\gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {v} ')}{c^{2}}}+\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')}{c^{2}}}\right]={\frac {Qq}{|\mathbf {r} '|^{3}}}\left(\mathbf {r} +\Gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}+{\frac {\gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}-{\frac {\gamma ^{2}\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )+{\frac {\Gamma \gamma \mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right)=$

$\ ={\frac {Qq}{|\mathbf {r} '|^{3}\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}\left(\gamma \mathbf {r} -\gamma \mathbf {r} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}+\Gamma \gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-{\frac {\Gamma \gamma \mathbf {u} }{c^{4}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+\gamma \mathbf {u} {\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-\gamma ^{3}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}+{\frac {\gamma ^{3}\mathbf {u} }{c^{4}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\right)+$

$\ +{\frac {Qq}{|\mathbf {r} '|^{3}\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}\left(\Gamma \gamma ^{2}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}-{\frac {\Gamma \gamma ^{2}\mathbf {u} }{c^{4}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\right)$.

Згрупувавши другий доданок з п'ятим, згорнувши їх за допомогою подвійного векторного добутку, четвертий - з сьомим і дев'ятим, а третій - з п'ятим і восьмим, використавши при цьому вираз

$\ \Gamma -\gamma ={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}-\gamma =-{\frac {\gamma }{1+\gamma }}=-{\frac {\Gamma }{\gamma }}$,

і скоротивши однакові множники з лівої і правої частин, можна отримати, що

$\ \mathbf {F} ={\frac {Qq}{|\mathbf {r} '|^{3}}}\left(\gamma \mathbf {r} +{\frac {\gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )-\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ))+{\frac {\gamma }{c^{4}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )(\gamma (\gamma -\Gamma ))-\Gamma )+\mathbf {u} \gamma {\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{c^{2}}}(\Gamma -\gamma (\gamma -\Gamma ))\right)={\frac {Qq\gamma }{|\mathbf {r} '|^{3}}}\left(\mathbf {r} +{\frac {1}{c^{2}}}[\mathbf {v} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]]\right)$,

або, використовуючи $\ (.2)$,

$\ \mathbf {F} ={\frac {Qq\gamma }{\left(\mathbf {r} ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left(\mathbf {r} +{\frac {1}{c^{2}}}[\mathbf {v} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]]\right)$.

Варто зазначити, що, хоч 3-вектор сили і змінюється, але 4-вектор залишається інваріантним.

Далі, якщо ввести позначення

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(\mathbf {r} ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$,

де $\ \mathbf {E}$ - напруженість електричного поля, $\ \mathbf {B}$ - індукція магнітного поля (див. наступний розділ), то з $\ (.7)$ можна отримати:

$\ \mathbf {F} =q{\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {q}{c^{2}}}\!{\left[\mathbf {v} \times {\frac {Q\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}\right]}=q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]$,

що і є виразом для сили Лоренца.

Звідси очевидно, що магнітне поле - релятивістський ефект, що пов'язаний із запізненням зміщення електричного поля (через кінечність швидкості розповсюдження взаємодії) при русі його джерела зі швидкістю $\ \mathbf {u}$, або, чисто кінематично, через перетворення виразу сили взаємодії при переході від однієї ІСВ до іншої.

Варто зазначити, що у випадку, коли заряд, що створює поле, покоїться, вираз для сили Лоренца переходить у закон Кулона.

Рівняння Максвелла

Поле

Поле.  

Нехай є деяке тіло, яке рухається під дією деякої сили у просторі, і треба знайти результуючу траєкторію цього тіла. Для наглядності за тіло може бути прийнятий деякий пробний точковий заряд, а за силу у просторі - міру взаємодії іншого точкового заряду з цим пробним зарядом. Нехай заряд, що діє на пробний, покоїться (він зафіксований деякою силою стороннього походження, наприклад, силою пружності стрижня, до якого він прикріплений). Тоді взаємодія зарядів описується законом Кулона, і знайти траєкторію пробного заряду (для нерелятивістського випадку) із рівняння другого закону Ньютона досить просто. Проте якщо розглянути випадок руху обох зарядів (формально - перейти до нової ІСВ) та перейти до релятивістського випадку, з отриманого рівняння буде значно складніше знайти залежність радіус-вектору від часу. У будь-який момент часу треба враховувати динаміку не лише пробного заряду, а й заряду, що діє на пробний. Кожен з зарядів буде прискорюватися, а це, як буде показано в подальшому, призведе до залежності сили від прискорення. Особливо складно задача виглядає при взаємодії у системі точкових заряді. Тому історично виникла ідея виокремити

$\ {\frac {Q\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}$

у виразі для сили Кулона та позначити цей вираз як деяку величину $\ \mathbf {E}$. Ця векторна величина у кожній точці простору має відповідне значення, а отже, його можна назвати векторним полем. Таким чином, рух пробного заряду під дією іншого заряду можна розглядати як рух пробного заряду у векторному полі $\ \mathbf {E}$. Знайшовши закони перетворення сили Кулона при переході до нової ІСВ, можна знайти вираз для сумарного поля, що діє на заряд при русі заряду-джерела поля. Тоді задача знаходження траєкторії заряду під дією іншого заряду починає зводитися до законів, які визначають перетворення поля та його динаміку. Якщо ж отримати рівняння для динаміки поля та доповнити їх виразом для сили Лоренца, вийде замкнена система рівнянь, що визначає динаміку пробного заряду. Описання динаміки заряду за допомогою цих рівнянь буде набагато простіше, ніж описання через координатний метод без введення векторної функції поля. Причому саме поле не є повністю формальною математичною абстракцією: експерименти вказують на силові лінії поля у всьому просторі, а не лише у околі заряду, на який діє сила.

Докладніше про введення поля та аспекти, що виникають за цього введення, див. у розділі "Теорія поля".

Власне рівняння Максвелла

Рівняння Максвелла (доповнюється).  

Отже, як отримано у попередньому розділі, напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(\mathbf {r} ^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.1)$,

а індукцією магнітного поля -

$\ \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$.

Якщо у $\ (.1)$ підставити $\ \mathbf {r} =0$, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу $\ a^{2}$ як доданок у знаменник $\ (.1)$ (регуляризація). Тоді модифікований вираз набуде вигляду

$\ \mathbf {E} ={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{\left(\mathbf {r} ^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.2)$.

Дещо про регуляризацію.  

При взятті дивергенції від функцій з сингулярностями треба враховувати їх особливості. Наприклад, дивергенція від $\ {\frac {q\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}$ тотожньо рівна нулю. Проте, виходячи із "фізичного змісту" дивергенції,

$\ (\nabla ,\mathbf {E} )=\lim _{V\to 0}{\frac {\oint (\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}=q\lim _{V\to 0}{\frac {\int {\frac {r^{2}d\omega }{r^{2}}}}{V}}=\lim _{V\to 0}{\frac {4\pi q}{V}}$.

Звідси слідує, що значення дивергенції поля у точці $\ r=0$ при фіксованому значенні $\ q$ рівне нескінченності, а не нулю.

Тому регуляризація потрібна для того, щоб зробити функцію не сингулярною у будь-якій точці об'єму при застосуванні диференціальних операцій до поля. Така процедура заздалегідь усуває абсурдність результату, що був би отриманий при проведенні обчислень без модифікації функції (приклад такого абсурдного результату наведено вище). А після проведення регуляризації можна зпрямувати параметр регуляризації до нуля, тим самим отримавши фізично коректний результат. Видів регуляризації досить багато.

Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням попередніх перетворень,

Попередні перетворення.  

$\ \nabla \mathbf {r} =div(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )={\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial z}}=3$.

$\ grad(r)={\frac {\partial r}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial r}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial r}{\partial z}}\mathbf {k} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$.

$\ \nabla (\varphi \mathbf {r} )={\frac {\partial (\varphi r_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi r_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\varphi r_{z})}{\partial z}}=\varphi {\frac {\partial r_{x}}{\partial x}}+\varphi {\frac {\partial r_{y}}{\partial y}}+\varphi {\frac {\partial r_{z}}{\partial z}}+r_{x}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+r_{y}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+r_{z}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=\varphi \nabla (\mathbf {r} )+(\mathbf {r} \cdot grad(\varphi ))$.

$\ grad((\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2})=2grad((\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} ))(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2grad(r_{x}u_{x}+r_{y}u_{y}+r_{z}u_{z})(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )=2\mathbf {u} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )$.

,

з виразу $\ (.2)$ можна отримати:

$\ \nabla \mathbf {E} =4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {r} )$,

де

$\ \delta _{a}(\mathbf {r} )={\frac {3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}$

- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці.

Виведення.  

$\ \nabla \mathbf {E} =\nabla {\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {3Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3}{2}}{\frac {kQ\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}2r+2\gamma ^{2}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}\right)=$

$\ ={\frac {3Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3kQ\gamma (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}})}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}={\frac {3Q\gamma a^{2}}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}={\frac {4\pi 3Q\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}$.

Із виразу для функції Дірака видно, що $\ \nabla \mathbf {E} =0$ у кожній точці, крім як при $\ r=0,a->0$, у якій $\ \nabla \mathbf {E} =\infty$. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд - точка (у даному випадку), яка є джерелом електричної індукції.

Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому принципа суперпозиції полів, суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:

$\ \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho ,\quad \mathbf {\rho } =\sum _{i}Q_{i}\delta _{\alpha }(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\qquad (.3)$.

Рівняння $\ (.3)$ є першим рівнянням Максвелла. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду $\ \nabla \mathbf {E}$ відповідає витоку поля, а для від'ємного - його стоку.

Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.

Для цього треба урахувати наступні попередні виведення.

Попередні перетворення.  

$[\nabla \times \varphi \mathbf {a} ]=\varphi [\nabla \times \mathbf {a} ]+[\mathbf {a} \times grad(\varphi )]$.

$[\nabla \times \mathbf {r} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {\mathbf {i} } &\mathbf {\mathbf {j} } &\mathbf {\mathbf {k} } \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\r_{x}&r_{y}&r_{z}\end{vmatrix}}={\frac {\partial z}{\partial y}}\mathbf {i} +{\frac {\partial x}{\partial z}}\mathbf {j} +{\frac {\partial y}{\partial x}}\mathbf {k} -{\frac {\partial x}{\partial y}}\mathbf {k} -{\frac {\partial y}{\partial z}}\mathbf {j} -{\frac {\partial z}{\partial x}}\mathbf {i} =0$.

Тоді, користуючись тим, що, одразу, $\ \nabla \mathbf {u} =0$, можна отримати, що

$\ \nabla \mathbf {B} =0\qquad (.4)$.

Виведення.  

$\ \nabla \mathbf {B} =(\nabla \cdot {\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ])=-{\frac {1}{c}}(\mathbf {u} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ])=-{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot [\nabla \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)-{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times grad\left({\frac {kQ\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}\right)\right]\right)=$

$\ =|[\nabla \times \mathbf {r} ]=0|={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3}{2}}{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}2r+2\gamma ^{2}\mathbf {u} {\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )}{c^{2}}}\right)\right]\right)=$

$\ ={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3\mathbf {r} Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right]\right)+{\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot \left[\mathbf {r} \times {\frac {3\mathbf {u} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right]\right)={\frac {1}{c}}\left(\mathbf {u} \cdot {\frac {3[\mathbf {r} \times \mathbf {u} ](\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\right)=$

$\ =-{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} \cdot [\mathbf {u} \times \mathbf {u} ]){\frac {3(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=0$.

Звідси очевидно, виходячи з поняття дивергенції, що жодна з точок простору у полі заряду, що рухається, включаючи точку положення самого заряду, не є джерелом магнітного поля.

Рівняння $\ (4)$ є другим рівнянням Максвелла.

Тепер, для визначеності закрученості поля в точках, можна взяти ротор від $\ \mathbf {E} ,\mathbf {B}$.

З урахуванням же того, що швидкість руху ІСВ постійна, можна записати явний вираз для ротора магнітного поля:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]=[\nabla \times {\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad (.5)$.

Доведення.  

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {1}{c}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial x}}\\u_{y}E_{z}-u_{z}B_{y}&u_{z}E_{x}-u_{x}B_{z}&u_{x}E_{y}-u_{y}E_{x}\end{vmatrix}}={\frac {1}{c}}[u_{x}(E'_{y}+E'_{z})\mathbf {i} +u_{y}(E'_{x}+E'_{z})\mathbf {j} +u_{z}(E'_{x}+E'_{y})\mathbf {k} ]=$

$\ ={\frac {1}{c}}[u_{x}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {i} +u_{y}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {j} +u_{z}(E'_{y}+E'_{y}+E'_{z})\mathbf {k} ]-{\frac {1}{c}}[E'_{x}u_{x}\mathbf {i} +E'_{y}u_{y}\mathbf {j} +E'_{z}u_{z}\mathbf {k} ]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {u} \cdot \nabla )$.

Цей вираз можна видозмінити за допомогою наступних міркувань.

При аналізі руху ІСВ відносно заряду треба виразити радіус-вектор $\ \mathbf {r}$ у явному вигляді:

$\ \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t\Rightarrow \mathbf {E} ={\frac {kQ\gamma (\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)}{((\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)^{2}+\gamma ^{2}{\frac {((\mathbf {r} _{0}-\mathbf {u} t)\cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}$.

Тоді частинна похідна по часу напруженості електричного поля буде рівна

$\ {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}}{\frac {\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial r_{i}}}u_{i}=-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad (.6)$.

Підставивши $\ (.6)$ у $\ (.5)$, можна отримати:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {1}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {E} \cdot \nabla )-{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {u} \cdot \nabla )={\frac {1}{c}}4\pi Q\delta _{a}(\mathbf {r} )\mathbf {u} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {1}{c}}4\pi \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\qquad (.7)$,

де $\ \mathbf {j} =\sum _{i}Q_{i}\delta _{a}(\mathbf {r} _{i})\mathbf {u}$ - густина струму.

Рівняння $\ (.7)$ є третім рівнянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.

Ротор же від напруженості електричного поля буде рівен

$\ [\nabla \times \mathbf {E} ]=[\nabla \times {\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}]=[\nabla \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma }{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}-3Q\gamma {\frac {\left[\left(\mathbf {r} +{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right)\times \mathbf {r} \right]}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}=-{\frac {3[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )Q\gamma ^{3}}{c^{2}(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}\qquad (.8)$.

Вираз $\ (.8)$, аналогічно до $\ (6)$, можна перетворити. Тоді

$\ [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad (.9)$.

Доведення.  

Аналогічно до похідної по часу напруженості $\ \mathbf {E}$, можна обчислити похідну від індукції магнітного поля $\ \mathbf {B}$:

$\ {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}}{\frac {\partial (r_{0_{i}}-u_{i}t)}{\partial t}}=-(\mathbf {u} \nabla )\mathbf {B} =-{\frac {Q\gamma }{c}}(\mathbf {u} \nabla )\left({\frac {[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]}{\left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)$.

Оскільки $\ (\mathbf {u} \nabla )[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]=[\mathbf {u} \times (\mathbf {u} \nabla )\mathbf {r} ]=[\mathbf {u} \times \mathbf {u} ]=0$, то векторний добуток можна винести за знак оператора похідної. Тоді

$\ =-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]{\frac {Q\gamma (\mathbf {u} \nabla )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {3}{2}}}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {3Q\gamma (1+\gamma ^{2}u^{2})[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {3Q\gamma ^{3}[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ](\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )}{(r^{2}+\gamma ^{2}{\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}}{c^{2}}}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=-c[\nabla \times \mathbf {E} ]\Rightarrow$

$\ \Rightarrow [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$.

Рівняння $\ (.9)$ є четвертим рівнянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти - є виділений напрям руху заряду). У випадку із зарядом, який покоїться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор рівен нулю.

На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.

Перша аксіома полягає у постулюванні векторної природи електромагнітного поля. Якщо б природа електромагнітного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б рівняння на кшталт рівнянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розділі, до закону Всесвітнього тяжіння, то можна отримати рівняння, схожі до рівнянь Максвелла, як і вираз для сили, подібний до виразу сили Лоренца. Проте їх вірність не підтверджується експериментально, хоч якісно вони і вірно описують динаміку тіл у гравітаційному полі за умови справедливості принципу суперпозиції.

Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду. Такий формальний постулат, що перевіряється експериментально, дозволяє отримати декілька цікавих наслідків, які будуть розглянуті нижче.

Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.

Незалежність рівнянь Максвелла

Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки $\ \nabla \mathbf {E}$ і виразивши з рівняння неперервності $\ \nabla \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$, можна отримати:

$\ {\frac {1}{c}}\nabla \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \nabla \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \mathbf {E} -4\pi \rho \right)=0\Rightarrow \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho +f(x,y,z)$.

Аналогічно можна взяти дивергенцію від четвертого рівняння Максвелла:

$\ (\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ])={\frac {\partial \nabla \mathbf {B} }{\partial t}}=0\Rightarrow \nabla \mathbf {B} =g(x,y,z)$.

Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім - дві пари по три рівняння (оскільки роторні рівняння розпадаються на три компонентних рівняння)) є незалежними.

Рівняння Максвелла у інтегральному вигляді

Рівняння Максвелла у інтегральному вигляді.  

Додатковий фізичний зміст рівнянь Максвелла виникає при їх записі в інтегральному вигляді.

Оскільки $\ \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho$, то, користуючись теоремою Гаусса-Остроградського,

$\ \int \limits _{S}\mathbf {E} d\mathbf {S} =\int \limits _{V}\nabla \mathbf {E} dV=4\pi \int \limits _{V}\rho dV=4\pi Q$,

що є, по суті, узагальненням закона Кулона (закон Гаусса).

Аналогічно - для дивергенції індукції:

$\ \nabla \mathbf {B} =0\Rightarrow \int \limits _{S}\mathbf {B} d\mathbf {S} =\int \limits _{V}\nabla \mathbf {B} dV=0$,

звідки слідує відсутність магнітних зарядів.

Для ротора магнітної індукції, користуючись теоремою Стокса, можна отримати:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]={\frac {1}{c}}4\pi \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\Rightarrow \int \limits _{L}\mathbf {B} d\mathbf {r} =\int \limits _{L}[\nabla \times \mathbf {B} ]d\mathbf {S} =|I=\int \limits _{S}\mathbf {j} d\mathbf {S} |={\frac {1}{c}}4\pi I+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{S}\mathbf {E} d\mathbf {S}$.

З отриманої рівності (закона Ампера-Максвелла) слідує, що циркулююче магнітне поле виникає як навколо зарядів, що рухаються, так і навколо змінного електричного поля.

Накінець, для ротора напруженості електричного поля можна записати:

$\ [\nabla \times \mathbf {E} ]=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\Rightarrow \int \limits _{L}\mathbf {E} d\mathbf {r} =|d\mathbf {S} =d\mathbf {S} _{0}=d\mathbf {S} _{t=t_{0}}|=-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{S}\mathbf {B} d\mathbf {S} _{0}$.

Отриманий вираз називається законом електромагнітної індукції Фарадея.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Різні наслідки із рівнянь Максвелла

Різні наслідки із рівнянь Максвелла.  

Рівняння неперервності

Якщо використати третє рівняння Максвелла, взявши дивергенцію від ротора цього поля, можна буде отримати рівняння неперервності:

$\ (\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {B} ])=([\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {B} )=0={\frac {1}{c}}4\pi \nabla \mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \nabla \mathbf {E} }{\partial t}}=|\nabla \mathbf {E} =4\pi \rho |={\frac {1}{c}}4\pi \left(\nabla \mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {\rho } }{\partial t}}\right)\Rightarrow \nabla \mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {\rho } }{\partial t}}=0$.

Інтерпретацію цього рівняння можна отримати, якщо розглянути деякий замкнений об'єм $\ V$. Для маленької ділянки поверхні $\ dS$, прилягаючого до неї об'єму $\ dV=dSu_{n}dt$ і заряду, що за час $\ dt$ зі швидкістю $\ \mathbf {u}$ залишає цей об'єм, можна записати:

$\ dQ=\rho dV=\rho dSu_{n}dt=(\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )dt=(\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} )dt$.

Тоді для об'єму $\ V$, ввівши поняття повного заряду, $\ Q=\int \limits _{V}\rho dV$, доцільно також ввести поняття сили струму:

$\ I=-{\frac {dQ}{dt}}=\int \limits _{S}(\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} )$

(знак мінус в першій рівності взято через те, що розглядається втрата об'ємом заряду, а заряд вважається додатним). Тоді, використовуючи теорему Гаусса-Остроградського, можна отримати:

$\ I=\int \limits _{S}(\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} )=\int \limits _{V}\nabla \mathbf {j} dV=-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{V}\rho dV=-\int \limits _{V}{\frac {d\rho }{dt}}dV\Rightarrow \nabla \mathbf {j} +{\frac {d\rho }{dt}}=0\qquad (.1)$.

Отже, рівняння неперервності виражає закон збереження заряду: зміна заряду у замкненому об'ємі $\ V$ пов'язана зі струмом $\ I$, що проходить через поверхню $\ S$, яка обмежує даний об'єм. Варто зазначити, що даний закон є локальним: у рамках СТВ неможливе миттєве зникання заряду у одному місці і наслідкове його виникнення у іншому. Тому закон цей діє лише у інтерпретації, зазначеній вище.

Магнітостатика

Нехай для заданої конфігурації струмів $\ {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0$. Тоді друге і третє рівняння Максвелла мають вигляд:

$\ \nabla \mathbf {B} =0,\quad [\nabla \times \mathbf {B} ]=4\pi \mathbf {j}$,

або, у інтегральній формі,

$\ \int \limits _{S}\mathbf {B} d\mathbf {S} =0,\quad \int \limits _{L}\mathbf {B} d\mathbf {r} ={\frac {4\pi }{c}}I\qquad (.2)$.

Для конфігурації, що має явну симетрію, можна знайти вираз для індукції поля у явному вигляді. Наприклад, можна розглянути нескінченний провідник, по якому тече постійний струм. Тоді конфігурація струмів має явну циліндричну симетрію. В результаті, можливі три незалежних напрямки силових ліній магнітної індукції, що мають циліндричну симетрію. Усі вони наведені на зображенні нижче.

Використовуючи $\ (.2)$, можна показати, що можлива лише третя конфігурація. Дійсно, якщо вибрати у якості замкнутої поверхні циліндр, то перший інтеграл виразу $\ (.2)$ для першої конфігурації не буде рівен нулю, оскільки вектори $\ \mathbf {B} ,d\mathbf {S} _{1}$ у загальному випадку не ортогональні. А отже, перша конфігурація протирічить рівнянням Максвелла. Далі, якщо вибрати у якості замкнутої кривої коло деякого радіуса $\ r$, то вектор $\ d\mathbf {r}$ є дотичним до неї. Тому для другого випадку вектори $\ \mathbf {B} ,d\mathbf {r}$ є ортогональними, а внаслідок цього другий інтеграл виразу $\ (.2)$ для другої конфігурації рівен нулю, що знову ж таки протирічить рівнянням Максвелла. Третя ж конфігурація задовільняє і першому, і другому інтегралам $\ (.2)$.

Тоді можна знайти вираз для $\ |\mathbf {B} |$:

$|\mathbf {B} |={\frac {2I}{cR}}$.

Виведення.  

Нехай є деяка елементарна ділянка провідника довжиною $\ dL$. Тоді за час $\ dt$, рухаючись зі швидкістю $\ u$, її пройде заряд $\ dQ=Idt=I{\frac {dL}{u}}$. Вираз для $\ d\mathbf {B}$ набуде вигляду

$\ d\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\gamma dQ[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]}{(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\gamma Iu}{c}}{\frac {[\mathbf {u} \times \mathbf {r} ]dL}{(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {\gamma I}{c}}{\frac {rsin(\theta )}{(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}r^{2}u^{2}cos^{2}(\theta ))^{\frac {3}{2}}}}$.

Враховуючи, що для довільно розташованого заряду і об'ємі провідника (див. рисунок)

$\ |r|=r={\sqrt {L^{2}+R^{2}}},\quad cos(\theta )={\frac {L}{r}},\quad sin(\theta )={\frac {R}{r}}$,

можна стверджувати, що

$\ |B|={\frac {\gamma I}{c}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\frac {R}{r}}rdL}{(L^{2}+R^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}r^{2}u^{2}{\frac {L^{2}}{r^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}=|\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma ^{2}-1|={\frac {\gamma I}{c}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\frac {R}{r}}rdL}{(R^{2}+\gamma ^{2}L^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {I}{cR}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d({\frac {L\gamma }{R}})}{(1+{\frac {L^{2}\gamma ^{2}}{R^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {I}{cR}}{\frac {\frac {L\gamma }{R}}{\sqrt {1+{\frac {L^{2}\gamma ^{2}}{R^{2}}}}}}{\bigg |}_{-\infty }^{\infty }={\frac {2I}{cR}}$.

Більш просто даний результат можна отримати наступним чином: для контуру, що відповідає колу радіусом з радіус перерізу провідника і співпадає з його контуром,

$\ \int \limits _{L}\mathbf {B} d\mathbf {r} =|B|2\pi R={\frac {4\pi }{c}}I\Rightarrow |B|={\frac {2I}{cR}}$.

Векторний потенціал

Друге рівняння Максвелла $\ \nabla \mathbf {B} =0$ можна тотожньо виконати, якщо представити $\ \mathbf {B}$ як ротор від деякої вектор-функції $\ \mathbf {A}$:

$\ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]\Rightarrow \nabla \mathbf {B} =(\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ])=0$.

Аналогічно, оскільки ротор градієнта рівен нулю, можна стверджувати, що $\ \mathbf {A}$ визначена з точністю до градієнта деякої скалярної функції. Внаслідок цього можна накласти деякі умови на вектор-функцію. Наприклад, можна вибрати її такою, щоб дивергенція цієї функції була рівна нулю (Кулонівське калібрування). Дійсно, нехай

$\ \mathbf {A} '=\mathbf {A} +grad(f)$.

Тоді для деякої ненульової функції $\ g$

$\ \nabla \mathbf {A} '=\nabla \mathbf {A} +\nabla grad(f)=\nabla \mathbf {A} +\Delta f=g$

можна записати, що $\ \Delta f=g$, звідки $\ \nabla \mathbf {A} =0$.

Дана умова дозволяє отримати загальний інтегральний вираз для $\ \mathbf {A} ,\quad \mathbf {B}$:

$\ [\nabla \times \mathbf {B} ]=[\nabla \times [\nabla \times \mathbf {A} ]]=\nabla (\nabla \mathbf {A} )-\mathbf {A} (\nabla \cdot \nabla )=-\Delta A={\frac {1}{c}}4\pi \mathbf {j}$.

Розв'язок отриманого рівняння Пуассона - наступний:

$\ \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{c}}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}$.

Тоді, з урахуванням виразу для $\ [\nabla \times \mathbf {a} \varphi ]=[\nabla \times \mathbf {a} ]-[\mathbf {a} \times grad\varphi ]$, а також - того, що для постійних струмів $\ [\nabla \times \mathbf {j} ]=0$, можна отримати:

$\ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]={\frac {1}{c}}\int {\frac {[\nabla \times \mathbf {j} ]d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}+{\frac {1}{c}}\int {\frac {[\mathbf {j} \times (\mathbf {x} -\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {1}{c}}\int {\frac {[\mathbf {j} \times (\mathbf {x} -\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |^{3}}}\qquad (.3)$.

Це є законом Біо-Савара.

Можна записати загальний вираз для сили у випадку неперервного розподілення:

$\ \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\sum Q_{i}[\mathbf {v} _{i}\times \mathbf {B} _{i}]=\left|\mathbf {j} =\sum Q_{i}\mathbf {v} _{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\right|={\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times \mathbf {B} ]d^{3}\mathbf {r}$,

де перехід до інтегрування стає можливим завдяки тому, що

$\ \int f(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})d^{3}\mathbf {r} =f(\mathbf {r} _{i})$.

(див. властивості дельта-функції).

Сила, що діє між двома провідниками зі струмом

Для провідників густина струму зосереджена вздовж тонкого приповерхневого шару. Тоді вираз $\ (.3)$ можна перетворити у контурний інтеграл $\ \mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} \Rightarrow Id\mathbf {r}$. Тоді, якщо $\ \mathbf {r}$ напрямлений від $\ d\mathbf {r}$ у точку спостерігання, $\ (.3)$ остаточно набуде вигляду

$\ d\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}I{\frac {[d\mathbf {r} \times \mathbf {r} ]}{|\mathbf {r} |^{3}}}$.

Тоді елементарна сила, що діє зі сторони другого провідника на перший, для випадку зосередження густини струму вздовж тонкого приповерхневого шару буде рівна

$\ d^{2}\mathbf {F} _{21}={\frac {1}{c^{2}}}I_{1}[d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {B} ]={\frac {1}{c^{2}}}I_{1}I_{2}{\frac {[d\mathbf {r} _{1}\times [d\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{21}]}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}={\frac {1}{c^{2}}}I_{1}I_{2}\left({\frac {d\mathbf {r} _{2}(d\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{21})}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}-{\frac {\mathbf {r} _{12}(d\mathbf {r} _{1}\cdot d\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}\right)\qquad (.4)$.

Звідси

$\ \mathbf {F} _{21}=-{\frac {I_{1}I_{2}}{c^{2}}}\int \int {\frac {\mathbf {r} _{12}(d\mathbf {r} _{1}\cdot d\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}$.

Доведення.  

У виразі $\ (.4)$ перший доданок є повним диференціалом від виразу $\ {\frac {1}{|\mathbf {r} _{12}|}}$ по $\ \mathbf {r} _{1}$. Дійсно, при $\ \mathbf {r} _{2}=const$

$\ grad({\frac {1}{|\mathbf {r} _{12}|}})d\mathbf {r} _{1}=-{\frac {\mathbf {r} _{12}d\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}$.

Внаслідок цього при інтегруванні по замкнутому контуру або по нескінченному провіднику інтеграл від першого доданку рівен нулю. Дійсно, оскільки у першому доданку інтегрування по $\ d\mathbf {r} _{1},d\mathbf {r} _{2}$ є незалежними, то при інтегруванні по $\ d\mathbf {r} _{1}$ буде підстановка по симетричним межам, що дасть нуль.

Магнітне поле, що створюється круговим витком

Нехай струм $\ I$ рухається по круговому контуру радіуса $\ a$. Із геометричним центром контура можна зв'язати початок координат. Треба знайти індукцію магнітного поля на осі $\ Oz$. Зручно вибрати циліндричну систему координат. При цьому вектор, проведений від початку координат до лінії контура, має у такій системі координати $\ \mathbf {a} =(acos(\varphi );asin(\varphi ))$. Вектор $\ \mathbf {r}$, проведений від кінця вектора $\ \mathbf {a}$ до осі $\ Oz$, має координати $\ \mathbf {r} =(0;0;z)$. Враховуючи, що зміщення вздовж контура рівне $\ d\mathbf {a}$, можна записати:

$\ |\mathbf {r} -\mathbf {a} |^{2}=a^{2}+z^{2},[d\mathbf {a} \times \mathbf {r} ]={\begin{vmatrix}\mathbf {\mathbf {i} } &\mathbf {\mathbf {j} } &\mathbf {\mathbf {k} } \\-asin(\varphi )d\varphi &acos(\varphi )d\varphi &0\\0&0&z\end{vmatrix}}=(azcos(\varphi );-azsin(\varphi ),a^{2})d\varphi$.

Накінець, використовуючи $\ (.3)$, можна записати:

$\ B={\frac {1}{c}}I\int \limits _{L}{\frac {[d\mathbf {a} \times \mathbf {r} ]}{(a^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{c}}I\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {(azcos(\varphi );-azsin(\varphi ),a^{2})d\varphi }{(a^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{c}}{\frac {2\pi a^{2}I}{(a^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}$.

Соленоїд

Якщо паралельно розмістити дві стопки кругових кілець, причому струм двух відповідних кілець буде напрямлений по іх контурам у різні сторони відносно годинникової стрілки, то можна буде отримати поле соленоїда. Лінії індукції магнітного поля будуть орієнтовані все більш паралельно із ростом "висоти" стопок. При умові нескінченної "висоти" лінії індукції будуть паралельними, причому поле буде однорідне у соленоїді, а за межами соленоїда індукція буде рівна нулю (за умови того, що індукція зменшується при віддаленні від осі симетрії вздовж соленоїда). Це можна показати наступним чином. Для інтегральної версії третього рівняння Максвелла, за умов магнітостатики, значення інтегралу

$\ \int \limits _{L}\mathbf {B} d\mathbf {r} ={\frac {1}{c}}4\pi I$

визначається струмом, що тече по поверхні, обмеженій контуром.

Якщо вибрати контур таким чином, щоб струм не тік по обмеженій поверхні, інтеграл буде рівен нулю. Вибравши прямокутник, горизонтальні сторони якого перпендикулярні лініям індукції, а вертикальні довжиною $\ L$ - паралельні їм, можна отримати:

$\ \int \limits _{L}\mathbf {B} d\mathbf {r} =(B_{2}-B_{1})L=0\Rightarrow B_{1}=B_{2}\Rightarrow B_{int}=const$.

Аналогічно для контуру поза соленоїдом з отриманої рівності слідує, що $\ B_{ext}=0$.

Якщо ж обрати контур таким чином, щоб він проходив через кругові кільця, вибравши, знову ж таки, прямокутник, причому одна паралельна лініям індукції сторона знаходиться поза соленоїдом, то можна отримати формулу для індукції магнітного поля у соленоїді:

$\ BL={\frac {1}{c}}4\pi I\Rightarrow B={\frac {1}{c}}{\frac {4\pi I}{L}}$.

Закон Фарадея

Можна помітити, що інтегральне рівняння Максвелла для ротора напруженості електричного поля,

$\ \oint \mathbf {E} d\mathbf {l} =-{\frac {1}{c}}\int {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}d\mathbf {S} _{0}$,

не враховує залежності поверхні від часу, а отже, оператор похідної по часу не можна виносити за інтеграл, не зафіксувавши при цьому елемент вектора площі $\ d\mathbf {S}$. Проте результат, що отриманий при виведенні цього рівняння, можна узагальнити. Для цього треба взяти повну похідну від виразу $\ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S}$:

$\ {\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}_{t=t_{0}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}d\mathbf {S} _{0}+{\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}{\frac {d\mathbf {S} (t)}{dt}}$.

Оскільки елемент вектора площі рівен $\ d\mathbf {S} =-[d\mathbf {l} \times \mathbf {v} _{0}dt]$, що описується як сегмент кривої $\ d\mathbf {l}$, що був пройдений за час $\ dt$ із швидкістю $\ \mathbf {v} _{0}$, то, використовуючи роторне рівняння Максвелла для напруженості електричного поля і щойно написане, можна отримати, що

$\ {\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}_{t=t_{0}}\int \mathbf {B} d\mathbf {S} =-\int [\nabla \times \mathbf {E} ]d\mathbf {S} _{0}-{\frac {1}{c}}\int (\mathbf {B} _{0}\cdot [d\mathbf {l} \times \mathbf {v} _{0}])=-\int \mathbf {E} _{0}d\mathbf {l} -{\frac {1}{c}}\int [\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{0}]d\mathbf {l} =-\int \left(\mathbf {E} _{0}+{\frac {1}{c}}[\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} _{0}]\right)d\mathbf {l} =$

$\ =-{\frac {1}{q}}\int \mathbf {F} _{L}d\mathbf {l} =-|\mathbf {F} _{ind.}|\Rightarrow |\mathbf {F} _{ind}|=-{\frac {1}{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}$.

Цей вираз називається законом Фарадея.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Дипольний і магнітний моменти

Дипольний і квадрупольний моменти

Дипольний і квадрупольний моменти.  

Перш за все можна розглянути випадок електростатики для випадку зосереджених у деякому обмеженому об'ємі зарядів. Для цього можна використати перше та четверте рівняння Максвелла, причому

$\ \nabla \mathbf {E} =4\pi \rho (\mathbf {r} ),\quad [\nabla \times \mathbf {E} ]=0$.

Останню рівність можна тотожньо виконати, ввівши скалярний потенціал, градієнт якого рівен напруженості поля:

$\ \mathbf {E} =-grad(\varphi )\Rightarrow [\nabla \times \mathbf {E} ]=-[\nabla \times \nabla ]\varphi =0$.

Для першого же рівняння, аналогічно до рівнянь векторного потенціалу,

$\ \nabla \mathbf {E} =-\nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \Rightarrow \Delta \varphi =-4\pi \rho \Rightarrow \varphi (\mathbf {r} )=\int \limits _{V}{\frac {\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}},\quad \mathbf {E} =-grad(\varphi (\mathbf {r} ))=\int \limits _{V}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |^{3}}}\qquad (.1)$.

Якщо вважати, що $\ |\mathbf {r} |<<|\mathbf {x} |$, де $\ \mathbf {x}$ - радіус-вектор від спостерігача до точки, у якій вимірюється напруженість поля, $\ \mathbf {r}$ - відстань від точки вимірювання до малого елементу об'єму із густиною $\ \rho$, то $\ (.1)$ можна розкласти в ряд по степеням $\ {\frac {|\mathbf {r} |}{|\mathbf {x} |}}$:

$\ \varphi (\mathbf {r} )=\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r} )|\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {r} \mathbf {x} +\mathbf {r} ^{2}|^{-{\frac {1}{2}}}d^{3}\mathbf {r} \approx \int \limits _{V}{\frac {\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} |}}+\int \limits _{V}{\frac {\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} |^{3}}}=\left|Q=\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,\quad \mathbf {d} =\int \limits _{V}\mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \right|={\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}$,

$\ \mathbf {E} =-grad\left({\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}\right)={\frac {Q\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+grad(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} ){\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}}+(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )grad\left({\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}}\right)={\frac {Q\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {\mathbf {d} }{|\mathbf {x} |^{3}}}-3{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{5}}}={\frac {Q\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {\mathbf {d} }{|\mathbf {x} |^{3}}}-3{\frac {\left({\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}}\cdot \mathbf {d} \right){\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}}}{|\mathbf {x} |^{3}}}=$

$\ =\left|\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}}\right|={\frac {Q\mathbf {n} }{|\mathbf {x} |^{2}}}+{\frac {3(\mathbf {n} \cdot \mathbf {d} )\mathbf {n} -\mathbf {d} }{|\mathbf {x} |^{3}}}$.

Перший доданок відповідає центрально-симетричному полю, а другий вносить асиметрію через утворення виділеного напрямку, що визначається вектором $\ \mathbf {d}$ дипольного моменту.

Можна продовжити розклад до квадратичного порядку. Тоді

$\ \varphi \approx {\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\mathbf {|} x|}}\int \rho (\mathbf {r} )\left(3{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )^{2}}{|\mathbf {x} |^{4}}}-{\frac {|\mathbf {r} |^{2}}{|\mathbf {x} |^{2}}}\right)d^{3}\mathbf {r} ={\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\mathbf {|} x|^{5}}}\int \rho (\mathbf {r} )(3(\mathbf {r} \cdot \mathbf {x} )^{2}-\mathbf {x} ^{2}\mathbf {r} ^{2})=$

$\ ={\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {x_{\alpha }x_{\beta }}{2|\mathbf {x} |^{5}}}\int \rho (\mathbf {r} )(3r^{\alpha }r^{\beta }-\delta ^{\alpha \beta }r^{2})d^{3}\mathbf {r} ={\frac {Q}{|\mathbf {x} |}}+{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {d} )}{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {x_{\alpha }x_{\beta }Q^{\alpha \beta }}{2|\mathbf {x} |^{5}}}$,

де величина $\ Q^{\alpha \beta }$ називається квадрупольним моментом системи зарядів.

Сила, момент сили та потенціальна енергія, пов'язані з дипольним моментом

Тепер можна знайти вираз для сили, що діє на деякий заряд $\ q$ у такому полі.

Для цього можна розкласти вираз для напруженості в ряд:

$\ \mathbf {E} (\mathbf {r} )\approx \mathbf {E} _{0}+\sum _{i}x_{i}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial x_{i}}}=\mathbf {E} _{0}+(\mathbf {r} \nabla )\mathbf {E} \qquad (.2)$,

де $\ \mathbf {E} _{0}$ - значення напруженості у початку координат, де знаходиться диполь.

Тоді сила, для неперервного розподілення зарядів, буде мати вигляд

$\ \mathbf {F} =\sum Q_{i}\mathbf {E} _{i}=\int \limits _{V}\mathbf {E} \rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \approx |2|\approx \mathbf {E} _{0}\int \limits _{V}\rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} +\left(\nabla \int \limits _{V}\mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \right)\mathbf {E} _{0}=Q\mathbf {E} _{0}+(\nabla \cdot \mathbf {d} )\mathbf {E} _{0}$.

Останній доданок можна перетворити, використовуючи рівність нулю ротора напруженості у випадку електростатики:

$\ [\mathbf {d} \times [\nabla \times \mathbf {E} _{0}]]=\nabla (\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} _{0})-\mathbf {E} _{0}(\nabla \mathbf {d} )=0\Rightarrow \mathbf {E} _{0}(\nabla \mathbf {d} )=\nabla (\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} _{0})$.

Тоді, остаточно, вираз для сили набуде вигляду

$\ \mathbf {F} =Q\mathbf {E} _{0}+\nabla (\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} _{0})$.

Оскільки сила є градієнтом від виразу для потенціальної енергії, то для нейтрального диполя

$\ U\approx -(\mathbf {d} \cdot \mathbf {E} _{0})$,

а отже, потенціальна енергія є мінімальною при розверненні диполя по полю.

Розвернення досягається за рахунок момента сили. Знову ж таки, переходячи до неперервного розподілення зарядів та враховуючи лише нульове наближення для напряженості поля, отримується

$\ \mathbf {M} =[\mathbf {r} \times \mathbf {F} ]=\int [\mathbf {r} \times \mathbf {E} _{0}]\rho d^{3}\mathbf {r} =[\mathbf {d} \times \mathbf {E} _{0}]$.

Магнітний момент

Магнітний момент.  

Аналогічні операції можна зробити із виразами для магнітного потенціалу та магнітної індукції.

$\ \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{c}}\int \limits _{V}{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\approx {\frac {1}{c|\mathbf {x} |}}\int \limits _{V}\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} +{\frac {1}{c|\mathbf {x} |^{3}}}\int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r}$.

Перший доданок рівен нулю, оскільки струми стаціонарні і замкнуті. Дійсно, від інтеграл від густини по об'єму локалізації струму можна перейти до інтегралу від сили струму по замкнутому контуру (струм замкнутий). Оскільки струм стаціонарний, то його можна винести за знак інтегралу, і тоді залишиться інтеграл від замкнутої кривої, тотожно рівний нулю.

Враховуючи, що

$\ (\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {r} -[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]\qquad (.3)$,

можна отримати:

$\ \mathbf {A} ={\frac {[\mathbf {m} \times \mathbf {x} ]}{|\mathbf {x} |^{3}}}$,

де

$\ \mathbf {m} ={\frac {1}{2c}}\int \limits _{V}[\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.4)$

- магнітний момент системи.

Доведення.  

Для стаціонарного випадку рівняння неперервності має вигляд $\ \nabla \mathbf {j} =0$.

Тоді

$\ \nabla (r_{i}r_{j}\mathbf {j} )=\sum _{k}\nabla _{k}(r_{i}r_{j}j_{k})=\sum _{k}\left(\delta _{ik}r_{j}j_{k}+r_{i}\delta _{kj}j_{k}\right)=r_{j}j_{i}+r_{i}j_{j}$.

Об'ємний інтеграл же від цього виразу рівен нулю, оскільки струми локалізовані і не витікають:

$\ \int \limits _{V}\nabla (r_{i}r_{j}\mathbf {j} )dV=\int \limits _{S}r_{i}r_{j}(\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} )=0\Rightarrow \int \limits _{V}r_{j}j_{i}dV=-\int \limits _{V}r_{i}j_{j}dV$.

Оскільки

$\ (\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} _{i}=\sum _{j}x_{j}r_{j}j_{i},\quad (\mathbf {x} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {r} _{i}=\sum _{j}x_{j}j_{j}r_{i}$,

то інтеграл від лівої частини $\ (.3)$ рівен інтегралу від першого доданку правої частини зі знаком мінус (для постійного вектора $\ x$). Для розуміння цього достатньо того, що

$\ \int x_{j}j_{j}r_{i}dV=x_{j}\int r_{i}j_{j}dV$.

Звідси

$\ \int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} =-\int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} -\int \limits _{V}[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r} \Rightarrow \int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{2}}\int \limits _{V}[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r}$.

Тоді

$\ \mathbf {A} =-{\frac {1}{c}}{\frac {1}{2}}\int \limits _{V}{\frac {[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]}{|\mathbf {x} |^{3}}}d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {[\mathbf {x} \times \mathbf {m} ]}{|\mathbf {x} |^{3}}}={\frac {[\mathbf {m} \times \mathbf {x} ]}{|\mathbf {x} |^{3}}}$.

Взявши ротор від цього виразу, можна отримати вираз для індукції магнітного поля:

$\ \mathbf {B} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}$,

де $\ \mathbf {n}$ - направляючий вектор в напрямку $\ \mathbf {x}$.

Доведення.  

Враховуючи, що

$\ [\nabla \times [\mathbf {b} \times \mathbf {a} ]]=(\mathbf {a} \nabla )\mathbf {b} -(\mathbf {b} \nabla )\mathbf {a} +\mathbf {a} (\nabla \cdot \mathbf {b} )-\mathbf {b} (\nabla \cdot \mathbf {a} )$,

можна записати, що

$\ \mathbf {B} =[\nabla \times \mathbf {A} ]=\left[\nabla \times \left[{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}\right]\right]=\left({\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}\nabla \right)\mathbf {m} -(\mathbf {m} \nabla ){\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+\mathbf {m} \left(\nabla \cdot {\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}\right)-{\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}(\nabla \cdot \mathbf {m} )$.

Перший і четвертий доданки дають нуль, а отже,

$\ \mathbf {B} =\mathbf {m} \left(\nabla \cdot {\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}\right)-(\mathbf {m} \nabla ){\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |^{3}}}=3\mathbf {m} \left({\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}}-{\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}}\right)-{\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}}(\mathbf {m} \nabla )\mathbf {x} +\mathbf {x} (\mathbf {m} \cdot \nabla {\frac {1}{|\mathbf {x} |^{3}}})={\frac {3{\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}}\left(\mathbf {m} \cdot {\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}}\right)}{|\mathbf {x} |^{3}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}=$

$\ ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}$.

Сила, момент сили та потенціальна енергія, пов'язані із магнітним моментом

Користуючись $\ (.2)$, вираз для індукції поля у околі початку координат можна розкласти як

$\ \mathbf {B} \approx \mathbf {B} _{0}+(\mathbf {r} \nabla )\mathbf {B} _{0}\qquad (.6)$.

Використовуючи інтегральне представлення сили Лоренца, що було отримано у розділі "Магнітостатика", можна отримати наступний вираз:

$\ \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times \mathbf {B} ]d^{3}\mathbf {r} \approx \left|(.6)\right|=-{\frac {1}{c}}\left[\mathbf {B} _{0}\times \int \mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} \right]+{\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times (\mathbf {r} \nabla )\mathbf {B} _{0}]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.7)$.

Перший доданок у $\ (.7)$ рівен нулю, оскільки струми замкнуті і обмежені. Другий же доданок можна перетворити наступним чином. Оскільки в точці, де немає струмів, що утворюють магнітне поле, ротор від індукції магнітного поля рівен нулю, можна отримати наступне співвідношення (з урахуванням того, що оператор набла діє лише на індукцію поля):

$\ [\mathbf {r} \times [\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}]]=\nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})-\mathbf {B} _{0}(\mathbf {r} \nabla )=0\Rightarrow \mathbf {B} _{0}(\mathbf {r} \nabla )=\nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})$.

Тоді $\ (.7)$ можна записати як

$\ \mathbf {F} \approx {\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times \nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})]d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{c}}\int [\nabla \times \mathbf {j} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.8)$.

Використовуючи міркування, що були отримані при знаходженні виразу для векторного потенціалу при $\ \nabla \mathbf {j} =0$,

$\ \int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} =-\int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} -\int \limits _{V}[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r} \Rightarrow \int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{2}}\int \limits _{V}[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r}$,

де замість $\ \mathbf {x}$ може стояти будь-який постійний вектор, $\ (.8)$ можна переписати як

$\ \mathbf {F} \approx {\frac {1}{2c}}\left[\nabla \times \int [\mathbf {B} _{0}\times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r} \right]=[\nabla \times [\mathbf {B} _{0}\times \mathbf {m} ]]=\mathbf {B} _{0}(\mathbf {m} \nabla )-\mathbf {m} (\nabla \mathbf {B} _{0})=\mathbf {B} _{0}(\mathbf {m} \nabla )=\nabla (\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} _{0})$.

Потенціальна енергія тоді буде мати вигляд

$\ U=-(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} _{0})$,

а момент сил, для наближення однорідного поля,

$\ \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}]={\frac {1}{c}}\int \left[\mathbf {r} \times [\mathbf {j} (\mathbf {r} )\times \mathbf {B} ]\right]d^{3}\mathbf {r} \approx {\frac {1}{c}}\int \left[\mathbf {r} \times [\mathbf {j} (\mathbf {r} )\times \mathbf {B} _{0}]\right]d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{c}}\int \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})d^{3}\mathbf {r} -{\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}(\mathbf {j} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r}$.

Другий інтеграл рівен нулю, оскільки для стаціонарних струмів

$\nabla (\mathbf {j} \mathbf {r} ^{2})=2(\mathbf {j} \cdot \mathbf {r} )$,

і тоді

$\ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}(\mathbf {j} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{c}}\mathbf {B} _{0}\oint \mathbf {j} (\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{2}d\mathbf {S} =0$,

оскільки струми не витікають за поверхню S.

Для першого ж інтегралу, знову ж таки, можна використати тотожність

$\ \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})=-{\frac {1}{2}}[\mathbf {\mathbf {B} } _{0}\times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]={\frac {1}{2}}[[\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]\times \mathbf {B} _{0}]$,

і тоді

$\ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})d^{3}\mathbf {r} =\left[{\frac {1}{2c}}\int [\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} \times \mathbf {B} _{0}\right]=[\mathbf {m} \times \mathbf {B} _{0}]$.

Деякі частинні випадки

Нехай струм $\ I$ тече по плоскому контуру тонкого провідника. Тоді можна здійснити заміну $\ \mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} \Rightarrow Id\mathbf {r}$. Внаслідок цього $\ (.4)$ набуде вигляду

$\ \mathbf {m} ={\frac {I}{2}}\oint [\mathbf {r} \times d\mathbf {r} ]=\left|d\mathbf {S} =\mathbf {k} dS={\frac {[\mathbf {r} \times d\mathbf {r} ]}{2}}\right|=IS\mathbf {k}$,

де введена площа трикутника $\ d\mathbf {S} =dS\mathbf {k}$, побудованого на векторах $\ \mathbf {r} ,d\mathbf {r}$ (при інтегруванні дає площу витка провідника), та вектор нормалі $\ \mathbf {k}$ до неї.

Можна визначити магнітний момент системи частинок, що мають постійне відношення заряду до маси:

$\ \mathbf {m} ={\frac {1}{2c}}\oint \left[\mathbf {r} _{i}\times \left(\sum _{i}Q_{i}\mathbf {v} _{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\right)\right]d^{3}\mathbf {r} ={\frac {Q}{2mc}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i}\times m\mathbf {v} _{i}]={\frac {Q}{2mc}}\mathbf {L} \qquad (.5)$,

де $\ \mathbf {L}$ - механічний момент імпульсу системи.

Доведення.  

Інтеграл від дельта-функції Дірака по всьому простору рівен одиниці. Це можна довести наступним шляхом. Направивши вісь z паралельно вектору $\ \mathbf {u}$ та розкривши у явному вигляді скалярний добуток із знаменника, можна отримати: $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {3\gamma a^{2}d^{3}\mathbf {r} }{4\pi \left(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2}+a^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}={\frac {3\gamma a^{2}}{4\pi }}\int \int \int {\frac {dxdydz}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {u^{2}\gamma ^{2}}{c^{2}}}z^{2}+a^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}=$

$\ =\left|z'=\left(1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)z\right|={\frac {3\gamma a^{2}}{4\pi {\sqrt {1+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}\int {\frac {dxdydz'}{(x^{2}+y^{2}+z'^{2}+a^{2})^{\frac {5}{2}}}}=\left|r'={\frac {r}{a}}={\frac {1}{a}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z'^{2}}}\right|={\frac {3\gamma a^{2}}{4\pi \gamma a^{2}}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {r} '}{(1+r'^{2})^{\frac {5}{2}}}}=$

$\ =3{\frac {4\pi }{4\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {r'^{2}dr'}{(r'^{2}+1)^{\frac {5}{2}}}}=|t=r'^{2}+1,dt=2r'dr'|={\frac {3}{2}}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {t-1}}dt}{t^{\frac {5}{2}}}}=\left|k={\frac {1}{t}},dk=-{\frac {dt}{t^{2}}}\right|=-{\frac {3}{2}}\int \limits _{1}^{0}{\sqrt {1-k}}dk=1$.

У $\ (.5)$ інтегрування проводилося по радіус-вектору $\ \mathbf {r}$, в той час як $\ \mathbf {r} _{i}$ вважався константою.

Для стаціонарних випадків (для кільцевого струму, наприклад) швидкість частинок по модулю постійна, тому $\ \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathbf {p} _{i}c^{2}}{E_{i}}}$. Для однакових частинок, за умови однакової їх швидкості, можна винести енергію за знак суми, і тоді у виразі вище буде стояти релятивістський момент імпульса, а замість маси у знаменнику буде стояти енергія.

Тоді момент сил, що діє на частинку в однорідному магнітному полі, можна переписати як

$\ \mathbf {N} =[\mathbf {m} \times \mathbf {B} ]=\left[{\frac {q_{i}}{2m_{i}c}}\mathbf {L} \times \mathbf {B} \right]=-\left[{\frac {q_{i}}{2m_{i}c}}\mathbf {B} \times \mathbf {L} \right]=[\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ]$.

Звідси слідує, що вектор кутової швидкості частинки рівен

$\ \mathbf {\omega } =-{\frac {q}{2mc}}\mathbf {B}$.

Таким чином, вектор моменту імпульсу $\ \mathbf {L}$ прецесіює із незмінними довжиною та кутом до вектора індукції поля із кутовою швидкістю в $\ \mathbf {\omega }$.

Перетворення Лоренца для полів

Базові вирази

Базові вирази.  

1. Сила Лоренца:

$\ \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\qquad (.1)$.

2. Релятивістське перетворення для 3-вектора сили:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}=\mathbf {F} '-\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\qquad (.2)$.

$\$

Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля

Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля.  

В силу принципу відносності вибір ІСВ не може позначитися на загальності перетворень, що були отримані для переходу між обраними ІСВ. Це дозволяє спростити вирази, наприклад, для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ.

Нехай у ІСВ А пробний заряд покоїться, $\ \mathbf {v} =0$. Тоді у ІСВ А', що рухається із швидкістю $\ \mathbf {u}$, заряд має швидкість $\ \mathbf {v} '=-\mathbf {u}$. Тоді, використовуючи $\ (.2)$, можна записати:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma }}=\mathbf {F} '-\gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')=\mathbf {F} '+(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} '){\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\Gamma -\gamma )=\left|\Gamma ={\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\right|=\mathbf {F} '-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} '){\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {\gamma }{1+\gamma }}=\mathbf {F} '-{\frac {\Gamma }{\gamma }}{\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')$.

Звідси слідує, що

$\ \mathbf {F} =\gamma \mathbf {F} '-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\qquad (.3)$.

З урахуванням того, що відносно ІСВ А сила $\ \mathbf {F}$, що діє на пробний заряд $\ q$, рівна

$\ \mathbf {F} =q\mathbf {E}$,

а відносно ІСВ А' ця ж сила рівна

$\ \mathbf {F} '=q\mathbf {E} '-{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']$,

можна перетворити $\ (.3)$:

$\ q\mathbf {E} =q\left[\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\right]$,

де враховано, що $\ (\mathbf {u} \cdot [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ])=0$ у доданку при $\ \Gamma$.

Отже,

$\ \mathbf {E} =\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\qquad (.4)$,

що і є шуканим перетворенням Лоренца для вектора напруженості електричного поля.

Обернене перетворення отримується шляхом замін

$\ \mathbf {u} ->-\mathbf {u} ,\quad \mathbf {E} '\to \mathbf {E} ,\quad \mathbf {E} \to \mathbf {E} '\quad \quad \mathbf {B} '\to \mathbf {B}$:

$\ \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\qquad (.5)$.

Доведення.  

Нехай, навпаки,

$\ \mathbf {v} =\mathbf {u} ,\quad \mathbf {v} '=0,\quad \mathbf {F} '=q\mathbf {E} ',\quad \mathbf {F} =q\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$.

Тоді вираз $\ (.2)$ набуде вигляду:

$\ {\frac {\mathbf {F} }{\gamma \left(1-{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{c^{2}}}\right)}}={\frac {\gamma ^{2}\mathbf {F} }{\gamma }}=\gamma \mathbf {F} =\mathbf {F} '+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\Rightarrow \gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)=\mathbf {E} '+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')\Rightarrow \left|(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\right|\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \mathbf {E} '=\gamma \left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )$.

Проміжний вираз $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )$ був отриманий із виразу $\ (.4)$ наступним чином:

$\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )=\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')-\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )\Rightarrow (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} )={\frac {\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')}{1+\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}=\left|\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma -1\right|={\frac {\gamma (\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')}{\gamma }}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\qquad (.6)$.

З цього виразу, окремо, слідує інваріантність продольної (до вектору швидкості пробного заряду) компоненти напруженості поля. Дійсно, напруженість поля не залежить від швидкості пробного заряду, а отже, вибір $\ \mathbf {v} =0$ не обмежує загальності $\ (.6)$.

Якщо вибрати орієнтацію вісей ІСВ таким чином, що $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$, то $\ (.5)$ зручно також розписати покомпонентно. Дійсно,

$\ \mathbf {E} '=\gamma \mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u&0&0\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{vmatrix}}-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}uB_{x}=\gamma (E_{x},E_{y},E_{z})+{\frac {1}{c}}(0,-uB_{z},uB_{y})-\Gamma {\frac {u}{c^{2}}}B_{x}(u,0,0)=$

$\ =\left(\left(\gamma -\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)E_{x},\gamma \left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right),\gamma \left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\right)=\left|\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}=\gamma -1\right|=\left(E_{x},\gamma \left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right),\gamma \left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\right)\qquad (.7)$.

Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля

Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля.  

Маючи перетворення для напруженості електричного поля, можна знайти перетворення для індукції магнітного поля. Це не є випадковістю, оскільки індукція визначається через швидкість ІСВ і напруженість електричного поля.

Для початку, вираз $\ (.5)$ можна домножити зліва на швидкість ІСВ $\ \mathbf {u}$, після чого - підставити зправа вираз $\ (.4)$. Тоді

$\ \mathbf {B} =\gamma \left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )\qquad (.8)$.

Доведення.  

$\ [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]=\left|(.4)\right|=\gamma ^{2}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]\Rightarrow$

$\ \Rightarrow (\gamma ^{2}-1)[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]]=\left|\gamma ^{2}-1={\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}\right|={\frac {u^{2}}{c^{2}}}\gamma ^{2}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')+\gamma ^{2}{\frac {u^{2}}{c}}\mathbf {B} '+{\frac {\gamma }{c}}\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )-\gamma {\frac {u^{2}}{c}}\mathbf {B} =$

$\ =\left|(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ),\quad 1-\gamma =-\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right|={\frac {u^{2}}{c}}\gamma ^{2}\left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)+(1-\gamma )\gamma \mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')-{\frac {u^{2}}{c}}\gamma \mathbf {B} =0\Rightarrow$

$\ \Rightarrow {\frac {u^{2}}{c}}\gamma \mathbf {B} ={\frac {u^{2}}{c}}\gamma ^{2}\left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma \gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}{\frac {\mathbf {u} }{c}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )\Rightarrow \mathbf {B} =\gamma \left(\mathbf {B} '+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} '\cdot \mathbf {u} )$.

Проміжний вираз $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )$ можна вивести наступним чином.

Нехай $\ (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )=0$. Перетворення $\ (.2)$ матиме вигляд:

$\ \mathbf {F} =\gamma \mathbf {F} '-\gamma ^{2}{\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {v} '\cdot \mathbf {F} ')+\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {F} ')$.

Якщо його векторно домножити зліва на $\ \mathbf {u}$, то зправа залишаться лише один доданок:

$\ [\mathbf {u} \times \mathbf {F} ]=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {F} ']$.

Тоді, використовуючи вираз $\ (.4)$, перетворення Лоренца для вектора швидкості за цієї умови і вирази для сил $\ \mathbf {F} ,\mathbf {F} '$, можна записати:

$\ \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )-\gamma \mathbf {u} }{\gamma \left(1-{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{c^{2}}}\right)}}={\frac {\mathbf {v} }{\gamma }}-\mathbf {u} \qquad (.9)$.

Тоді зліва можна буде отримати

$\ q[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]+{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]=\left|(.4)\right|=q\left[\mathbf {u} \times \left(\gamma (\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {B} '])-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')\right)\right]+{\frac {q}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]$,

а зправа, використовуючи $\ (.9)$,

$\ =q\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']+{\frac {q\gamma }{c}}\left[\mathbf {u} \times \left[\left({\frac {\mathbf {v} }{\gamma }}-\mathbf {u} \right)\times \mathbf {B} \right]\right]\Rightarrow \gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']-{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]]=\gamma [\mathbf {u} \times \mathbf {E} ']+{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {v} \times \mathbf {B} ']]-{\frac {\gamma }{c}}[\mathbf {u} \times [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ']]$.

Прирівнявши ліву і праву частини, можна буде отримати, що

$\ \Rightarrow {\frac {1}{c}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )-{\frac {1}{c}}\mathbf {B} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )={\frac {1}{c}}\mathbf {v} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')-{\frac {1}{c}}\mathbf {B} '(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\Rightarrow (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')$.

Цей вираз, знову ж таки, означає інваріантність продольної (по відношенню до вектора швидкості заряда) компоненти вектора магнітної індукції при перетвореннях Лоренца.

Аналогічно до перетворень із напруженістю електричного поля, із $\ (.8)$ можна отримати:

$\ \mathbf {B} '=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {u} )\qquad (.10)$.

Прийнявши $\ \mathbf {u} =(u,0,0)$, $\ (.10)$ можна розписати покомпонентно:

$\ \mathbf {B} '=\gamma \mathbf {B} -{\frac {\gamma }{c}}(0,-uE_{z},uE_{y})-{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(u,0,0)uB_{x}=\left(B_{x}\left(\gamma -\Gamma {\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right),\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right),\gamma \left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)\right)=$

$\ =\left(B_{x},\gamma \left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right),\gamma \left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)\right)\qquad (.11)$.

Співставлення із результатами, отриманими при виведенні виразу для сили Лоренца

Співставлення із результатами, отриманими при виведенні виразу для сили Лоренца.  

Вірність отриманих виразів можна продемонструвати наступним чином. Нехай у ІСВ А' магнітне поле відсутнє, в той час як у ІСВ А воно є і дорівнює $\ \mathbf {B}$. Тоді, користуючись $\ (.10)$ і інваріантністю продольних компонент магнітної індукції при переході між ІСВ, можна отримати:

$\ 0=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {u} )=|(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} ')=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )\Rightarrow (\mathbf {u} \cdot \mathbf {B} )=0|=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\right)\Rightarrow \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]\qquad (.12)$.

Далі треба використати співвідношення $\ (.4)$ та вираз для $\ \mathbf {E} ':\mathbf {E} '={\frac {Q\mathbf {r} '}{r'^{3}}}$:

$\ \mathbf {E} =\gamma \left(\mathbf {E} '-{\frac {1}{c}}[\mathbf {u} \times \mathbf {0} ]\right)-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {E} ')={\frac {Q}{r'^{3}}}\left(\gamma \mathbf {r} -\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} ')\right)=\left|t=0\rightarrow \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right|=$

$\ ={\frac {Q}{r'^{3}}}\left(\gamma \mathbf {r} +\Gamma \gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}\left[\left((\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )+{\frac {\Gamma }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\right)\right]\right)=\left|\Gamma ={\frac {\gamma -1}{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}\right|=$

$\ ={\frac {Q}{r'^{3}}}\left(\gamma \mathbf {r} +\Gamma \gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )-\Gamma {\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )-\Gamma (\gamma -1){\frac {\mathbf {u} }{c^{2}}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {r} )\right)={\frac {Q\gamma \mathbf {r} }{(r^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {u} )^{2})^{\frac {3}{2}}}}\qquad (.13)$.

Як видно, $\ (.12),(.13)$ співпадають із виразами, що отримані у розділі "Сила Лоренца".$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Інваріанти перетворень Лоренца електромагнітного поля

Інваріанти перетворень Лоренца електромагнітного поля.  

Використовуючи $\ (.7),(.11)$, можна показати інваріантність наступних виразів:

$\ (\mathbf {E} '\cdot \mathbf {B} '),\quad \mathbf {E} '^{2}-\mathbf {B} '^{2}$.

Доведення першого виразу.  

$\ (\mathbf {E} '\cdot \mathbf {B} ')=E_{x}B_{x}+E_{y}B_{y}+E_{z}B_{z}=E_{x}B_{x}+\gamma ^{2}\left(E_{y}-{\frac {u}{c}}B_{z}\right)\left(B_{y}+{\frac {u}{c}}E_{z}\right)+\gamma ^{2}\left(E_{z}+{\frac {u}{c}}B_{y}\right)\left(B_{z}-{\frac {u}{c}}E_{y}\right)=$

$\ =E_{x}B_{x}+E_{y}B_{y}\gamma ^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+E_{z}B_{z}\gamma ^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}E_{y}E_{z}-{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}B_{y}B_{z}-{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}E_{y}E_{z}+{\frac {u}{c}}\gamma ^{2}B_{y}B_{z}=(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} )=inv$.

Доведення другого виразу.  

$\ \mathbf {E} '^{2}-\mathbf {B} '^{2}=(\mathbf {E} '-\mathbf {B} ')(\mathbf {E} '+\mathbf {B} ')=(\left[E_{x}-B_{x},\gamma \left(E_{y}-B_{y}-{\frac {u}{c}}(B_{z}+E_{z})\right),\gamma \left(E_{z}-B_{z}+{\frac {u}{c}}(E_{y}+B_{y})\right)\right]\cdot$

$\ \cdot \left[E_{x}+B_{x},\gamma \left(E_{y}+B_{y}+{\frac {u}{c}}(E_{z}-B_{z})\right),\gamma \left(E_{z}+B_{z}+{\frac {u}{c}}(B_{y}-E_{y})\right)\right])=$

$\ =E_{x}^{2}-B_{x}^{2}+\gamma ^{2}E_{y}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}B_{y}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+\gamma ^{2}E_{z}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}B_{z}^{2}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)+$

$\ +\gamma ^{2}{\frac {u}{c}}\left[E_{y}E_{z}-E_{y}B_{z}-2E_{z}B_{y}+B_{y}B_{z}-E_{y}B_{z}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+2E_{z}B_{y}-E_{y}E_{z}-B_{y}B_{z}+E_{y}B_{z}+E_{y}E_{z}+E_{y}B_{z}+B_{y}B_{z}\right]=$

$\ =\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}=inv$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Розглядаючи ці інваріанти, можна зробити декілька важливих висновків.

1. Якщо $\ \mathbf {B} ^{2}>\mathbf {E} ^{2},\mathbf {E} \bot \mathbf {B}$, то можна вибрати ІСВ таку, що у ній $\ \mathbf {E} '=\mathbf {0} ,\mathbf {B} '\neq \mathbf {0}$ (нуль-вектор ортогональний будь-якому вектору). Це значно спрощує розв'язок рівнянь Максвелла і аналіз динаміки заряджених тіл у полі. Якщо ж друга умова не виконується, то вибрати таку ІСВ неможливо.

2. Аналогічно, якщо $\ \mathbf {B} ^{2}<\mathbf {E} ^{2},\mathbf {E} \bot \mathbf {B}$, можна вибрати ІСВ таку, що у ній $\ \mathbf {B} '=\mathbf {0} ,\mathbf {E} '\neq \mathbf {0}$.

3. Якщо у деякій ІСВ $\ \mathbf {B} =\mathbf {0} ,\mathbf {E} \neq \mathbf {0}$, то при переході до іншої ІСВ, у загальному випадку, буде як електричне, так і магнітне поля, причому вектори індукції магнітного поля і напруженості електричного поля будуть ортогональними.

4. Плоска хвиля, для якої $\ \mathbf {E} \bot \mathbf {B} ,|\mathbf {E} |=|\mathbf {B} |$, залишається такою у будь-якій ІСВ.