Користувач:NAME XXX/Класична механіка

Інтеграли руху

Інтеграли руху.  

Ньютонів формалізм

Базове рівняння:

$\ \sum _{i}^{n}m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}=\sum _{j,i=1,i<j}^{n}{\vec {F}}_{ji}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{d^{int}}+\sum _{i=1}^{n}({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})\qquad (1)$,

де $\ {\vec {F}}^{d}$ - дисипативні сили, $\ {\vec {F}}^{ext}$ - зовнішні сили.

Закон збереження імпульса

Імпульсом матеріальної точки, за означенням, є

$\ {\vec {p}}_{i}=m_{i}{\vec {V}}_{i}=m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}$.

Похідною імпульса по часу буде величина

$\ {\vec {F}}_{i}={\frac {d{\vec {p}}_{i}}{dt}}={\dot {{\vec {p}}_{i}}}={\vec {F}}_{i}^{ext}+{\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+\sum _{j=1}^{n}({\vec {F}}_{ji})$.

Якщо просумувати імпульси по усім точкам, можно отримати наступне:

$\ {\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})+\sum _{i,j=1;i<j}^{n}({\vec {F}}_{ji}+{\vec {F}}_{ij})=\sum _{i=1}^{n}({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})$,

оскільки, згідно із III законом Ньютона,

$\ \sum _{i,j=1;i<j}^{n}({\vec {F}}_{ji}+{\vec {F}}_{ij})=0$.

За умови

$\ \sum _{i=1}^{n}({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})=0$

виконується умова

$\ {\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}{\vec {p}}_{i}=0$.

Закон збереження момента імпульса

Можна ввести величину

$\ \mathbf {L} =[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]$.

Тоді, з урахуванням попереднього перетворення,

Попереднє перетворення  

$\ \sum _{i=1}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{ij}]={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,i<j}^{n}[({\vec {r}}_{i}+{\vec {r}}_{j})\times ({\vec {F}}_{ij}+{\vec {F}}_{ji})]=0$.

,

похідна по часу величини момента імпульса системи буде рівна: $\ {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]=\sum _{i=1}^{n}([{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\times {\vec {p}}_{i}]+[{\vec {r}}_{i}\times {\dot {\vec {p}}}_{i}])=\sum _{i=1}^{n}([{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\times m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}]+m_{i}[{\vec {r}}_{i}\times {\ddot {{\vec {r}}_{i}}}])=\sum _{i=1}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times {\dot {{\vec {p}}_{i}}}]=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\vec {r}}_{i}\times {\ddot {{\vec {r}}_{i}}}]=$

$\ =\sum _{i=1}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})]+\sum _{i=1,i\neq j}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{ij}]=\sum _{i=1}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})]$.

При

$\ \sum _{i=1}^{n}[{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {F}}_{i}^{d^{ext}}+{\vec {F}}_{i}^{ext})]=0$

$\ {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=0$.

Закон збереження енергії

Спосіб 1 (загальний).

Скалярне множення $\ (1)$ на $\ {\vec {r_{i}}}$:

$\ \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{ext}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{i,j=1}^{n}{\vec {F}}_{ij}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}^{dis^{int}}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}^{dis^{ext}}d{\vec {r}}_{i}$.

Ліва частина.

$\ \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {d{\dot {{\vec {r}}_{i}}}}{dt}}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}d{\dot {{\vec {r}}_{i}}}=d\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {\dot {r_{i}^{2}}}{2}}=d\sum _{i=1}^{n}T_{i}$.

Права частина.

Перший доданок.

$\ \sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}_{i}^{ext}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial U^{ext}({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{n})}{\partial {\vec {r}}_{i}}}d{\vec {r}}_{i}=-d\sum _{i=1}^{n}U_{i}^{ext}=-dU^{ext}$,

де $\ U^{ext}$ - зовнішня потенціальна енергія системи..

Другий доданок. $\ \sum _{i,j=1}^{n}{\vec {F}}_{ji}d{\vec {r}}_{i}=\sum _{i,j=1,i<j}^{n}[({\vec {F}}_{ji}\cdot d{\vec {r}}_{i})+({\vec {F}}_{ij}\cdot d{\vec {r}}_{j})]=\sum _{i,j=1,i<j}^{n}({\vec {F}}_{ji}\cdot d{\vec {r}}_{ij})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1,i\neq j}^{n}({\frac {\partial U_{ij}}{\partial {\vec {r}}_{ij}}}\cdot d{\vec {r}}_{ij})=-dU$,

де $\ U$ - власна потенціальна енергія системи.

Третій і четвертий доданки.

$\ \sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}^{dis^{int}}d{\vec {r}}_{i}+\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}^{dis^{ext}}d{\vec {r}}_{i}=dW^{dis.}$.

Закон збереження механічної енергії

Тоді початкова рівність набуде вигляду:

$\ dT=dU^{ext}-dU+dW^{dis.}\Rightarrow d(T+U)=dU^{ext}+dW^{dis.}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}(T+U)={\frac {d}{dt}}(U^{ext}+W^{dis.})$.

При

$\ {\frac {d}{dt}}(U^{ext}+W^{dis.})=0$,

або при

$\ U^{ext}+W^{dis.}=0$

виконується закон збереження механічної енергії:

$\ {\frac {d}{dt}}(T+U)=0$.

Задача двох тіл

Задача двох тіл.  

За систему відліку можна вибрати систему, у якій центр мас є нерухомим (сумарний імпульс рівен нулю). Тоді, обравши також за початок відліку координати центру мас, можна, перейшовши до радіус вектора центру мас, отримати наступні співвідношення:

$\ m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=\left|\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\Rightarrow \mathbf {r} _{1}=\mathbf {r} +\mathbf {r} _{2}\right|=m_{1}\mathbf {r} +m_{1}\mathbf {r} _{2}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0\Rightarrow \mathbf {r} _{2}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}=-{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{M}},\quad \mathbf {r} _{1}=\mathbf {r} -{\frac {m_{1}\mathbf {r} }{M}}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{M}}$.

Момент імпульсу даної системи рівен

$\ \mathbf {L} =m_{1}[\mathbf {r} _{1}\times {\dot {\mathbf {r} _{1}}}]+m_{2}[\mathbf {r} _{2}\times {\dot {\mathbf {r} _{2}}}]={\frac {m_{1}m_{2}^{2}[\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]}{M^{2}}}+{\frac {m_{2}m_{1}^{2}[\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]}{M^{2}}}={\frac {m_{1}m_{2}[\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]}{M}}=\mu [\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]\qquad (1)$.

Рух двох тіл в утвореній ними системі відбувається лише в одній площині.

Доведення.  

Зміна вектора момента імпульса у будь-які моменти часу рівна нулю, що обумовлюється центральністю поля (вектор сили паралельний відносному радіус-вектору):

$\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mu [\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}]=[\mathbf {r} \times \mathbf {F} ^{ext}]=0(\mathbf {r} ||\mathbf {F} ^{ext})$.

Кут між вектором момента імпульса та радіус-вектором та кут між вектором момента імпульса та вектором швидкості завжди рівен 90 градусам (тобто, за умови незмінності вектора момента імпульсу лежать в одній стаціонарній площині):

$\ (\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} _{1,2})=\mu ([\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]\cdot \mathbf {r} _{1,2})=0$,

$\ (\mathbf {L} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{1,2})=\mu ([\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}]\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{1,2})=0$.

Тоді величини $\ \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}$ можна виразити у полярній системі координат:

$\ \mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r};\qquad \mathbf {e} _{r}=\mathbf {e} _{x}cos(\varphi )+\mathbf {e} _{y}sin(\varphi );\qquad \mathbf {e} _{\varphi }=-\mathbf {e} _{x}sin(\varphi )+\mathbf {e} _{y}cos(\varphi ),\qquad \mathbf {e} _{r}\perp \mathbf {e} _{\varphi };\qquad {\dot {\mathbf {e} _{r}}}={\dot {\varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }$.

В результаті, $\ (1)$ прийме вигляд:

$\ \mathbf {L} =\mu [r\mathbf {e} _{r}\times {\dot {(\mathbf {e} _{r}r)}}]=\mu [r\mathbf {e} _{r}\times ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r\mathbf {e} _{\varphi }{\dot {\varphi }})]=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}[\mathbf {e} _{r}\times \mathbf {e} _{\varphi }]\Rightarrow |\mathbf {L} |=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}\Rightarrow {\dot {\varphi }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}\qquad (2)$.

Енергія такої системи, з урахуванням $\ (2)$, буде мати вигляд:

$\ E={\frac {\mu {\dot {\mathbf {r} ^{2}}}}{2}}+U(r)=||{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\varphi }}e_{\varphi }||={\frac {\mu ({\dot {r}}^{2}|\mathbf {e} _{\varphi }|+2{\dot {\varphi }}r{\dot {r}}(\mathbf {e} _{r}\cdot \mathbf {e} _{\varphi })+r^{2}{\dot {\varphi ^{2}}})}{2}}+U(r)=||(\mathbf {e} _{r}\cdot \mathbf {e} _{\varphi })=0,{\dot {\varphi }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}||=$

$\ ={\frac {\mu {\dot {r^{2}}}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U_{r}={\frac {\mu {\dot {r^{2}}}}{2}}+U_{eff}\qquad (3)$.

З виразу $\ (3)$ можна знайти функції $\ r(t),\varphi (r),r(\varphi )$.

1. Залежність $\ r(t)$ виражається наступним чином:

$\ {\frac {\mu {\dot {r}}^{2}}{2}}=E-U_{eff}\Rightarrow dt={\sqrt {\frac {\mu }{2}}}{\frac {dr}{\sqrt {E-U_{eff}}}}$.

2. Відповідна залежність $\ \varphi (r)$ отримується наступним чином:

$\ {\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {L}{\mu r^{2}}}\Rightarrow dt={\frac {d\varphi L}{\mu r^{2}}}$.

Тоді $\ (3)$ прийме вигляд:

$\ {\frac {dr}{dt}}={\frac {Ldr}{d\varphi \mu r^{2}}}={\sqrt {E-U(r)-{\frac {L^{2}}{\mu r^{2}}}}}\Rightarrow \varphi =\int {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {dr}{\sqrt {2\mu (E-U(r))-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}}}}$.

3. Залежність $\ r(\varphi )$ при $\ U(r)={\frac {\alpha }{r}}$ дуже просто знайти, якщо використати деякі перетворення:

$\ \varphi =\int {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {dr}{\sqrt {2\mu (E-U(r))-{\frac {L^{2}}{r^{2}}}}}}=\int {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {dr}{L{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}-{\frac {2\mu \alpha }{L^{2}r}}-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}=|t={\frac {1}{r}},dr=-{\frac {dt}{t^{2}}}|=-\int {\frac {dt}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}-{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}-{\frac {2\mu \alpha t}{L^{2}}}-t^{2}}}}=$

$\ =-\int {\frac {dt}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}-(t+{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}})^{2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}}}}\int {\frac {dt}{\sqrt {1-{\frac {(t+{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}})^{2}}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}}}}}}}=arccos{\frac {t+{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}}}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}}}}=arccos{\frac {{\frac {1}{r}}+{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}}}{\sqrt {{\frac {2\mu E}{L^{2}}}+{\frac {\mu ^{2}\alpha ^{2}}{L^{4}}}}}}\Rightarrow$

$\ \Rightarrow {\frac {{\frac {1}{r}}{\frac {L^{2}}{\mu |\alpha |}}+sign(\alpha )}{\sqrt {{\frac {2EL^{2}}{\mu \alpha ^{2}}}+1}}}=cos(\varphi )\Rightarrow r(\varphi )={\frac {\frac {L^{2}}{\mu |\alpha |}}{-sign(\alpha )+{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{\mu \alpha ^{2}}}}}cos(\varphi )}}={\frac {p}{-sign(\alpha )+\varepsilon cos(\varphi )}}$.

Щось незрозуміле  

$\ E={\frac {\mu {\dot {r^{2}}}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {\alpha }{r}}=$

$\ |||{\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}=||r={\frac {1}{\rho }}||={\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}=-{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {d\rho }{d\varphi }}{\dot {\varphi }}=-r^{2}{\frac {d\rho }{d\varphi }}\Rightarrow ||{\dot {\varphi }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}||{\dot {r}}=-{\frac {L}{\mu }}{\frac {d\rho }{d\varphi }}|||$

$\ ={\frac {\mu {\dot {r}}^{2}}{2}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {\alpha }{r}}={\frac {L^{2}}{2\mu }}({\frac {d\rho }{d\varphi }})^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu }}\rho ^{2}-\alpha \rho ={\frac {({\frac {d\rho }{d\varphi }})^{2}+\rho ^{2}-{\frac {2\mu \alpha }{L^{2}}}\rho }{\frac {L^{2}}{2\mu }}}$;

$\ {\frac {dE}{dt}}=0\Rightarrow {\frac {d}{d\varphi }}(({\frac {d\rho }{d\varphi }})^{2}+{\frac {d\rho ^{2}}{d\rho }}d\rho -{\frac {d\rho }{d\rho }}d\rho {\frac {2\mu \alpha }{L^{2}}})=2{\frac {d\rho }{d\varphi }}({\frac {d^{2}\rho }{d\varphi ^{2}}}+\rho -{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}})={\frac {d^{2}\rho }{d\varphi ^{2}}}+\rho -{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}}=0\qquad (4)$.

Вираз $\ (4)$ є аналогічним виразу для гармонічного осцилятора. Його розв'язком є

$\ \rho (\varphi )={\frac {\mu \alpha }{L^{2}}}+Acos(\varphi -{\varphi }_{0})\rightarrow r(\varphi )={\frac {1}{{\frac {\mu \alpha }{L^{2}}}+Acos(\varphi -{\varphi }_{0})}}={\frac {L^{2}}{\mu \alpha }}{\frac {1}{1+A{\frac {L^{2}}{\mu \alpha }}cos(\varphi )}}=||{\frac {L^{2}}{\mu \alpha }}=p,e=Ap||={\frac {p}{1+ecos(\varphi -{\varphi }_{0})}}$,

де $\ A,{\varphi }_{0}$ - сталі, що визначаються початковими умовами. Очевидно, що якщо $\ e=0,e<1,e=1,e>1$, то траєкторія буде мати відповідно форми кола, еліпсу, параболи, гіперболи.

Принцип найменшої дії, рівняння Лагранжа, рівняння Гамільтона

Синхронна варіація функції

Синхронна варіація функції  

Нехай є функція

$\ q=q(t)$.

Можна ввести заміну такої функції, взявши функцію

$\ q'(t)=q(t)+\varepsilon \varphi (t),\varepsilon ->0$,

де $\ \varphi (t)$ - довільна неперервна функція від часу. Тоді величина

$\ q'(t)-q(t)=\varepsilon \varphi (t)=\delta q(t)$

буде називатися синхронною варіацією функції - зміною виду функції $\ q(t)$ при незмінному аргументі.

Принцип найменшої дії

Принцип найменшої дії  

Нехай є система з $\ n$ частинок, на кожну з яких діє рівнодійна сил $\ {\vec {F}}_{i}$ та сила зв'язків $\ {\vec {R}}_{i}$. Тоді другий закон Ньютона може бути записаний як

$\ m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}={\vec {F}}_{i}+{\vec {R}}_{i}=-{\frac {\partial U({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{n})}{\partial {\vec {r}}_{i}}}+{\vec {R}}_{i}\qquad (1)$.

Тіло при своєму русі обирає таку траєкторію, що відповідає деяким принципам оптимальності певної фізичної функції стану тіла. Таким чином, для реальної траєкторії величина даної функції екстремальна, а при відхиленні від даної траєкторії змінюється (як правило, збільшується). Дана величина повинна бути сумарною по траєкторії - інтегралом по часу від функції, що задає траєкторію. Умова оптимуму знаходиться із операції варіювання певної величини. В данному випадку такою величиною є бескінечно мале зміщення $\ \delta {\vec {r}}_{i}$. Така варіація відрізняється від диференціала $\ d{\vec {r}}_{i}$ тим, що останній є реальним приростом $\ {\vec {r}}_{i}$ вздовж реальної траєкторії, в той час як перший є віртуальним переходом із реальної траєкторії на іншу на величину зміщення $\ \delta r_{i}$. Тоді можна задати безліч траєкторій, що починаються і закінчуються у одних і тих же точках, причому траєкторії будуть різними.

Якщо кожне з рівнянь $\ (1)$, для визначення варіації, домножити на $\ \delta {\vec {r}}_{i}$, а потім - просумувати рівняння для усіх частинок та перенести усі доданки вліво, можна буде отримати:

$\ \sum _{i=1}^{n}(m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}+{\frac {\partial U({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{n})}{\partial {\vec {r}}_{i}}}-{\vec {R}}_{i})\delta {\vec {r}}_{i}=0\qquad (2)$.

Варто помітити, що в рамках класичної механіки $\ (2)$ є принципом Д'аламбера, який є переходом від динамічного описання стану системи до статичного. Він формулюється наступним чином: віртуальна робота усіх прикладених до системи сил рівна нулю, що і виражає варіювання $\ (1)$.

Для перетворення $\ (2)$ треба урахувати наступне:  

1. Якщо зв'язки ідеальні, то робота сил таких зв'язків буде рівна нулю:

$\ \sum _{i=1}^{n}{\vec {R}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=0\qquad (2.1)$,

оскільки умова ідеальних зв'язків передбачає відсутність сил тертя по дотичній до переміщення вздовж обмежувальної поверхні, і $\ \delta {\vec {r}}_{i}\perp {\vec {R}}_{i}$.

2. Приріст потенціальної енергії буде рівен

$\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial U({\vec {r}}_{1},...,{\vec {r}}_{n})}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}=\delta U\qquad (2.2)$.

3. Перший доданок можна перетворити наступним чином:

$\ \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\ddot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}(m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i})-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}({\frac {d}{dt}}m_{i}\delta {\vec {r}}_{i})\qquad (2.3)$.

Оскільки операції $\ {\frac {d}{dt}},\delta$ є незалежними, то

$\ \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}({\frac {d}{dt}}\delta {\vec {r}}_{i})=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {v}}_{i}=\delta \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}({\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2})$.

Тоді $\ (2.3)$ прийме вигляд:

$\ \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}{\frac {d}{dt}}\delta {\vec {r}}_{i}={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}-\delta \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}^{2}}}$.

Тоді $\ (2)$ прийме вигляд:

$\ {\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}-\delta \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}+\delta U={\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}-\delta (\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}-U)=0\qquad (3)$.

Від $\ (3)$ можна взяти інтеграл по часу. Для цього треба проінтегрувати кожен доданок окремо:

1. Перший доданок:

$\ \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i}dt=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i_{t_{2}}}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}\delta {\vec {r}}_{i_{t_{1}}}=0$,

оскільки самі початкова і кінцева точки не зміщуються при русі часу: $\ \delta {\vec {r}}_{i_{t_{1}}}=\delta {\vec {r}}_{i_{t_{2}}}=0$ (варіації координат на кінці інтервалу рівні нулю).

2. Другий доданок, відповідно до написаного, повинен бути рівен нулю:

$\ \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\delta (\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}-U)dt=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(T-U)dt=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)dt=0$,

де

$\ L({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)=T-U$

- функція Лагранжа системи частинок,

$\ s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)dt$

- дія.

Таким чином, система рухається із однієї точки у другу вздовж такої траєкторії, щоб дія $\ s$ була мінімальна.

Функція $\ L({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)$ у загальному випадку має вигляд $\ L(q_{1},...q_{n},{\dot {q_{1}}},...{\dot {q_{n}}},t)$, де $\ q_{i}$ - узагальнана координата. Фізичний зміст функції Лагранжа, відповідно до написаного, умовно можна вважати наступним: функція Лагранжа - функція, інтеграл по часу якої приймає стаціонарне значення при дійсному законі руху консервативної системи.

Рівняння Лагранжа

Рівняння Лагранжа.  

Дію $\ s$ можна проваріювати. Для цього треба розглянути операцію синхронної варіації функції та її фізичний зміст у даному випадку. Нехай $\ q(t)$ - функція дійсної траєкторії, для якої $\ s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt$ має мінімум на даному інтервалі часу, $\ q'(t)$ - функція пробної або віртуальної траєкторії, близька до реальної, $\ \delta q$ - синхронна варіація функції траєкторії. Якщо мається мінімум дії $\ s$, то будь-яка заміна функції $\ q(t)$ на $\ q'(t)=q(t)+\delta q$ призводила б до зростання дії. Тоді варіація дії $\ s$ на заданій траєкторії рівна нулю лише тоді, коли траєкторія реальна.

Проваріювавши $\ s$, можна отримати:

$\ \delta s=\delta \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt=0,\qquad \delta L=L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}},t)$.

Можна розкласти $\ L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)$ в ряд по степенях $\ \delta q,\delta {\dot {q}}$ до членів першого порядку. Тоді

$\ L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\Rightarrow \delta L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}-L(q,{\dot {q}},t)={\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}$.

Тоді $\ \delta s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta q)dt\qquad (1)$.

Другий доданок можна проінтегрувати по частинам:

$\ \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta qdt=\delta q{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}})\delta qdt=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}})\delta qdt$,

оскільки перший доданок рівен нулю внаслідок граничних умов - самі початкова і кінцева точки не зміщуються при русі часу: $\ \delta {\vec {r}}_{i_{t_{1}}}=\delta {\vec {r}}_{i_{t_{2}}}=0$ (варіації координат на кінці інтервалу рівні нулю).

Тоді $\ (1)$ прийме вигляд:

$\ \delta s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}))\delta q)dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}))\delta qdt=0$.

Оскільки величина $\ \delta q$ може бути довільна, то повинна виконуватись наступна умова:

$\ {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0$.

Дана умова називається рівнянням Лагранжа. Рівняння Лагранжа є диференціальними рівняннями другого порядку, причому для $\ s$ рівнянь буде $\ s$ невідомих, а отже, якщо шукати розв'язок для невідомих $\ x_{i}$ у вигляді $\ x_{i}=e^{pi}$, то у розв'язку кожного з рівнянь буде по дві константи $\ C_{1_{i}},C_{2_{i}}$. Константи можна визначити при однозначному заданні початкових умов системи. Рівняння, як видно з виведення, можуть бути застосованими для системи частинок, на яку накладені голономні зв'язки, причому не потрібно розглядати кожну частинку системи по окремості. Рівняння може бути застосоване для немеханічних систем, оскільки не утримує у явному вигляді механічних характеристик системи (маса, момент інерції тощо). Рівняння не утримує вирази для сил зв'язків і не залежить від вибору системи координат.

Властивості функції Лагранжа.  

1. Функція Лагранжа для замкнутих підсистем системи частинок аддитивна. Це означає, що для $\ n$ таких підсистем

$\ L=\sum _{i=1}^{n}L_{i}$.

Тому рівняння руху кожної з невзаємодіючих підсистем системи не містять величин, які відносяться до інших підсистем, а отже, невзаємодіючі підсистеми не впливають одна на одну.

2. Функція Лагранжа неоднозначна.

2.1. Множення функції на будь-яку довільну константу, що очевидно з самого рівняння Лагранжа (воно є однорідним відносно функції Лагранжа), не змінить рівнянь руху системи.

2.2. До функції можна додати будь-яку величину, яка є повною похідною по часу функції від координат та часу, що не вплине на вигляд рівняння руху. Це пов'язано з тим, що у рівняння Лагранжа входить не сама функція Лагранжа, а її похідна.

Доведення. Нехай є функція

$\ L'(t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {d}{dt}}F(q,t)$.

Тоді дія $\ s$ прийме вигляд:

$\ s'=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {d}{dt}}F(q,t))dt=s+F(q_{1},t_{1})-F(q_{2},t_{2})\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \delta s'=\delta s+\delta (F(q_{1},t_{1})-F(q_{2},t_{2}))=\delta s$.

Нормальні координати

Кінетична енергія записується у декартових координатах наступним чином:

$\ T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{2}}{\dot {\vec {r}}}_{i}^{2}\qquad (.1)$.

Переписавши $\ {\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}$ через узагальнені координати, можна отримати:

$\ {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(q,t)\Rightarrow {\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}=({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}+\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j})^{2}=({\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}})^{2}+2{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{j}}}{\dot {q_{k}}}\qquad (.2)$.

Після підстановки $\ (.2)$ в $\ (.1)$, можна отримати:

$\ T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{2}}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+\sum _{i=1}^{N}\sum _{k,j=1}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{j}}}{\dot {q_{k}}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{2}}{\dot {{\vec {r}}_{i}}}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\dot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}(q,t){\dot {q_{j}}}{\dot {q_{k}}}\qquad (.3)$,

де $\ b(j)=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}},\quad a_{jk}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}$.

Якщо перехід $\ r(t)\Rightarrow r(q,t)$ не залежить від часу, то перший і другий доданки рівні нулю. Для такої системи

$\ T={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\dot {q}}_{j}+\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}(q,t){\dot {q_{j}}}{\dot {q_{k}}}$,

причому система називається натуральною. Запис $\ (.3)$ відповідає квадратичній формі, якій, у свою чергу, відповідає симетрична невироджена матриця.

Якщо записати функцію Лагранжа для такої системи в термінах малих відхилень $\ \Psi$ від положення рівноваги $\ q_{0}$, можна отримати:

$\ L(q_{0}+\Psi ,{\dot {\Psi }})={\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}a_{jk}(q,t){\dot {\Psi _{j}}}{\dot {\Psi _{k}}}-U(q_{0}+\Psi )$.

Розклавши $\ a_{jk},U$ в ряд Тейлора, враховуючи, що для положення рівноваги перша похідна рівна нулю, та нехтуючи доданками третіх порядків коеффіцієнтів відхлення, можна отримати:

$\ L(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}a_{jk}(q_{0}){\dot {\Psi }}_{j}{\dot {\Psi }}_{k}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}\Psi _{j}\Psi _{k}+o(\Psi ^{2})$.

Нехай далі $\ m_{jk}=a_{jk},k_{jk}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}$.

Тоді матриця, що складається з $\ m_{jk}$, називається матрицею коефіцієнтів кінетичної енергії, а матриця, що складається з $\ k_{jk}$, називається матрицею коефіцієнтів потенціальної енергії.

Рівняння Лагранжа тоді запишеться наступним чином:

$\ {\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}})-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=\sum _{k=1}^{n}m_{jk}{\ddot {\Psi _{k}}}+\sum _{k=1}^{n}k_{jk}\Psi _{k}=\sum _{k=1}^{n}(m_{jk}{\ddot {\Psi _{k}}}+k_{jk}\Psi _{k})=0\qquad (.4)$.

Розв'язок цього рівняння шукається у вигляді

$\ \Psi _{k}=Ae^{iwt}$.

$\ (.4)$ тоді набуде наступного значення:

$\ \sum _{k=1}^{n}(-w^{2}m_{jk}+k_{jk})e^{iwt}A_{k}=0$,

Для ненульових рішень

$\ det(k_{jk}-w^{2}m_{jk})=0$,

що відтворює алгоритм пошуку власних чисел $\ w_{b}$ матриці, яких є $\ s\leqslant n$, які є власними частотами системи. Після того, як знайдені ці частоти, можна знайти величини $\ A_{b}$. Якщо всі частоти системи різні, то ця величина є пропорційною мінору визначника, у якому $\ w->w_{b}$. Тоді

$\ x_{b}=\Delta _{b}C_{b}e^{iw_{b}t}$,

де $\ C_{b}$ - деяка довільна комплексна константа. Загальне же рішення - сума рішень:

$\ X=\sum _{b=1}^{s}x_{b}=\sum _{b=1}^{s}\Delta _{b}C_{b}e^{iw_{b}t}=\sum _{b=1}^{s}\Delta _{b}\mathrm {B} _{b}$.

Координати $\ \mathrm {B} _{b}$ є незалежними одна від одної і називаються нормальними.

Приклад задачі.  

Нехай є система з двох однакових мат. маятників, що з'єднані пружиною, жорсткість якої відома. Треба проаналізувати малі коливання системи.

У якості двох узагальнених координат можна вибрати кути $\ \varphi _{1},\varphi _{2}$. Тоді, враховуючи вираз

$\ L(q,{\dot {q}})={\frac {1}{2}}a_{jk}(q_{0}){\dot {\Psi }}_{j}{\dot {\Psi }}_{k}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}\Psi _{j}\Psi _{k}+o(\Psi ^{2})$,

можна звести функцію Лагранжа до наведеного вигляду наступним шляхом. Координатами мас двох маятників є вирази

$\ x_{1}=lsin(\varphi _{1}),y_{1}=lcos(\varphi _{1}),x_{2}=lsin(\varphi _{2}),y_{2}=lcos(\varphi _{2})$.

Тоді вираз для кінетичної енергії можна записати наступним чином:

$\ v_{1}^{2}+v_{2}^{2}={\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}({\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2})\Rightarrow T={\frac {m}{2}}({\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{2}m_{ij}{\dot {\varphi }}_{i}{\dot {\varphi }}_{j}\Rightarrow m_{11}=m_{22}=ml^{2}\qquad (.1)$,

а для потенціальної -

$\ U={\frac {K}{2}}(\Delta x)^{2}-mgl(y_{1}+y_{2})={\frac {Kl^{2}}{2}}(sin(\varphi _{1})-sin(\varphi _{2}))^{2}-mgl^{2}(cos(\varphi _{1})+cos(\varphi _{2}))\qquad (.2)$.

Можна розкласти $\ (.2)$ в ряд з умовою розкладу в околі положення рівноваги. Для нього $\ {\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}=0$, а членами при порядку $\ \delta x_{i}$ більшому, ніж два, нехтують. Тоді

$\ U\approx {\frac {Kl^{2}}{2}}(\varphi _{1}^{2}-2\varphi _{1}\varphi _{2}+\varphi _{2}^{2})-{\frac {mgl^{2}}{2}}(4-\varphi _{1}^{2}-\varphi _{2}^{2})={\frac {1}{2}}[Kl^{2}+mgl^{2}](\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})-Kl^{2}\varphi _{1}\varphi _{2}-2mgl^{2}$.

Порівнявши із загальним розкладом, можна, як і в випадку з $\ (.1)$, написати:

$\ U\approx -2mgl^{2}+{\frac {1}{2}}[Kl^{2}+mgl^{2}]\varphi _{1}^{2}-Kl^{2}\varphi _{1}\varphi _{2}+{\frac {1}{2}}[Kl^{2}+mgl^{2}](\varphi _{2}^{2})=U_{0}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi _{1}^{2}}}\varphi _{1}^{2}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi _{1}\partial \varphi _{2}}}\varphi _{1}\varphi _{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi _{2}^{2}}}\varphi _{2}^{2}=$

$\ =U_{0}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{2}k_{ij}\varphi _{i}\varphi _{j},k_{11}=k_{22}=Kl^{2}+mgl^{2},k_{12}=k_{21}=Kl^{2}$.

Тоді функція Лагранжа для даної задачі, у канонічному вигляді, запишеться як

$\ L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{2}[m_{ij}{\dot {\varphi }}_{i}{\dot {\varphi }}_{j}-k_{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}]$.

Звідси очевидно, що запис рівняння Лагранжа буде наступним:

$\ \sum _{i=1}^{2}({\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}_{j}}})-{\frac {\partial L}{\partial \varphi _{j}}})=\sum _{i=1}^{2}(m_{ij}{\ddot {\varphi }}_{i}+k_{ij}\varphi _{i})=0$.

Стандартний розв'язок для таких рівнянь - заміна $\ \varphi =Ce^{iwt}$.

Тоді

$\ \sum _{i=1}^{2}[e^{iw_{i}t}A_{i}(k_{ji}-w_{k}^{2}m_{ij})]=0$,

причому ненульові розв'язки будуть тоді, коли детермінант

$\ |k_{ji}-w_{k}^{2}m_{ij}|$

системи з двох рівнянь буде нульовий:

$\ {\begin{vmatrix}k_{11}&k_{12}\\k_{21}&k_{22}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}m_{11}w^{2}&0\\0&m_{22}w^{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}Kl^{2}+mgl-ml^{2}w^{2}&Kl^{2}\\Kl^{2}&Kl^{2}+mgl-ml^{2}w^{2}\end{vmatrix}}=0$.

Розв'язком є $\ w^{2}={\frac {g}{l}},w^{2}={\frac {2Kl+mg}{ml}}$.

$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

На жаль, чомусь не вірний спосіб описання розв'язку.  

Вибравши, наприклад, $\ j=1,i=1$, можна записати:

$\ m_{11}{\ddot {\varphi }}_{1}+k_{11}\varphi _{1}=|m_{11}=ml^{2},k_{11}=Kl^{2}+mgl^{2}|=ml^{2}{\ddot {\varphi }}_{1}+(Kl^{2}+mgl^{2})\varphi _{1}=0$.

Стандартний розв'язок для таких рівнянь - заміна $\ \varphi =Ce^{iwt}$.

Тоді

$\ Ce^{iwt}[Kl^{2}+mgl^{2}-w^{2}ml^{2}]=0$.

Рівняння має ненульовий розв'язок $\ C$ лише при

$\ Kl^{2}+mgl^{2}-w^{2}ml^{2}=0\Rightarrow w={\frac {Kl+mg}{ml}}$.

Аналогічно - для $\ j=2,i=2$:

$\ m_{22}{\ddot {\varphi }}_{2}+k_{11}\varphi _{2}=|m_{22}=ml^{2},k_{22}=|$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Рівняння Гамільтона

Рівняння Гамільтона.  

Для більш зручного розв'язання рівнянь руху системи зручно перейти від описання її стану за допомогою таких узагальнених координат, рівняння (Лагранжа) з якими є диференціальними рівняннями другого порядку, до описання за допомогою інших, які отримують диференціальні рівняння першого порядку. Для початку треба взяти повний диференціал від функції Лагранжа частинки по часу:

$\ dL(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\qquad (1)$.

Враховуючи те, що функція Лагранжа має розмірність енергії, можна отримати:

$\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i_{f}},{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=F_{i_{f}}={\dot {p}}_{i_{f}}$,

де $\ p_{i_{f}}$ - узагальнений імпульс, $\ F_{i_{f}}={\dot {p}}_{i_{f}}$ - узагальнена сила.

Внаслідок отриманого, $\ (1)$ прийме вигляд:

$\ dL(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}+p_{i_{f}}d{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt=||\sum _{i}p_{i_{f}}d{\dot {q}}_{i}=d(\sum _{i}p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i})-\sum _{i}d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}||=\sum _{i}{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}+\sum _{i}d(p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i})-\sum _{i}d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\qquad (2)$.

Якщо перенести повний диференціал у $\ (2)$, можна буде отримати повний диференціал від певної функції:

$\ -d(\sum _{i}d(p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t))=-(d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt)\Rightarrow d(\sum _{i}p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t))=d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\qquad (3)$.

Дані перетворення являються переходом Лежандра для функції Лагранжа.

Нехай тоді $\ H(p_{i_{f}},q_{i},t)=p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ - функція Гамільтона (гамільтоніан) даної частинки. У такому формулюванні дія може бути записана як

$\ s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(p_{i_{f}}{\dot {q}}_{i}-H(p_{i_{f}},q_{i},t))dt$.

З $\ (3)$ випливає, що

$\ dH={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i_{f}}}}dp_{i_{f}}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}-{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\qquad (4)$.

Відповідно до $\ (4)$, можна отримати систему із трьох диференціальних рівнянь першого порядку:

$\ d(p_{i_{f}}){\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i_{f}}}}dp_{i_{f}}\Rightarrow {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i_{f}}}}$,

$\ {\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}dq_{i}=-{\dot {p}}_{i_{f}}dq_{i}\Rightarrow {\dot {p}}_{i_{f}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$,

$\ -{\frac {\partial L}{\partial t}}dt={\frac {\partial H}{\partial t}}dt\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}$,

які називаються канонічними рівняннями Гамільтона.

Очевидно, що рівняння Гамільтона простіші, ніж рівняння Лагранжа, оскільки рівняння Гамільтона являються диференціальними рівняннями першого порядку, а рівняння Лагранжа - диференціальним рівнянням другого порядку.

Фізичний зміст гамільтоніана.  

Якщо частинна похідна від гамільтоніану системи по часу рівна нулю, то дана система консервативна, а гамільтоніан має зміст повної енергії такої системи, вираженної через узагальнені імпульс та координати:

$\ H(q,p,t)=T(q,p)+U(q)$.

Це можна показати взяттям повної похідної гамільтоніана:

$\ {\frac {dH(q,p,t)}{dt}}={\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial t}}$.

Якщо підставити значення $\ {\dot {p}},{\dot {q}}$ з рівнянь Гамільтона і врахувати, що частинна похідна його по часу рівна нулю, можна отримати:

$\ {\frac {dH(q,p,t)}{dt}}={\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial t}}\Rightarrow ||{\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial t}}=0||\Rightarrow {\frac {dH(q,p,t)}{dt}}=0$.

Скобки Пуассона

Нехай є дві функції $\ f=f(q,p,t),\qquad g=g(q,p,t)$. Скобками Пуассона таких функцій є вираз

$\ [f,g]=\sum _{i=1}^{n}[{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}]$.

Аналогічно, обчислюючи повну похідну функції $\ f=f(q,p,t)$ по часу, можна отримати вираз:

$\ {\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p_{i}}}]={\frac {\partial f}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}]=[H,f]+{\frac {\partial f}{\partial t}}$.

Якщо $\ f$ - інтеграл руху, то

$\ [H,f]+{\frac {\partial f}{\partial t}}\Rightarrow {\frac {\partial f}{\partial t}}=-[H,f]$.

Тому, якщо $\ f$ не залежить явно від часу, то

$\ [H,f]=0$.

Таким чином, якщо функції $\ H,f$ є інтегралами від часу, то скобки Пуассона також є інтегралом від часу. Ця теорема містить найважливішу властивість функції Пуассона та має назву теорема Пуассона.

Доведення теореми Пуассона (дописується).  

Інші властивості скобок Пуассона наведено нижче.

Властивості скобок Пуассона (дописується).  

Скобки Пуассона мають наступні властивості.

1. Антисиметрія - $\ [f,g]=-[g,f]$:

$\ [f,g]=\sum _{i=1}^{n}[{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}]=-\sum _{i=1}^{n}[{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}]=-[g,f]$.

2. $\ [f,const]=0$.

3. $\ [(f_{1}+f_{2}),g]=[f_{1},g]+[f_{2},g]$.

4. $\ {\frac {\partial }{\partial t}}[f,g]=[{\frac {\partial f}{\partial t}},g]+[f,{\frac {\partial g}{\partial t}}]$.

5. Тотожність Якобі:

$\ [f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0$.

6. $\ [q_{i},q_{k}]=[p_{i},p_{k}]=0,\qquad [p_{i},q_{k}]=\delta _{ik}$:

$\ [p_{i},q_{j}]=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial p_{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial q_{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial q_{j}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial q_{k}}}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{ik}\delta _{jk}=\delta _{ij}$.

Таким чином, скобки Пуассона являються аналогом принципа невизначеності Гейзенберга у класичній механіці.

Рух твердого тіла

Тензор та еліпсоїд інерції

Тензор та еліпсоїд інерції  

Момент імпульсу і-тої матеріальної точки абсолютно твердого тіла відносно центру інерції ($\ {\vec {V}}_{i}=[{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}]$):

$\ {\vec {L}}_{i}=m_{i}[{\vec {r}}_{i}\times {\vec {V}}_{i}]=m_{i}[{\vec {r}}_{i}\times [{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}]]=m_{i}({\vec {\omega }}r_{i}^{2}-{\vec {r}}_{i}({\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {\omega }}))=m_{i}([\omega _{x}{\vec {i}}+\omega _{y}{\vec {j}}+\omega _{z}{\vec {k}}][x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}]-[x_{i}{\vec {i}}+y_{i}{\vec {j}}+z_{i}{\vec {k}}][\omega _{x}x_{i}+\omega _{y}y_{i}+\omega _{z}z_{i}])=$

$\ =m_{i}({\vec {i}}[\omega _{x}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{x}x_{i}^{2}-\omega _{y}x_{i}y_{i}-\omega _{z}x_{i}z_{i}]+{\vec {j}}[\omega _{y}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{y}y_{i}^{2}-\omega _{x}x_{i}y_{i}-\omega _{z}y_{i}z_{i}]+{\vec {k}}[\omega _{z}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{z}z_{i}^{2}-\omega _{y}y_{i}z_{i}-\omega _{z}x_{i}z_{i}])=$

$\ =m_{i}({\vec {i}}[\omega _{x}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{y}x_{i}y_{i}-\omega _{z}x_{i}z_{i}]+{\vec {j}}[-\omega _{x}x_{i}y_{i}+\omega _{y}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{z}y_{i}z_{i}]+{\vec {k}}[-\omega _{x}x_{i}z_{i}-\omega _{y}y_{i}z_{i}+\omega _{z}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})])$.

Якщо просумувати моменти імпульсу усіх точок, можна отримати:

$\ {\vec {L}}=\sum _{i}^{n}m_{i}({\vec {i}}[\omega _{x}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{y}x_{i}y_{i}-\omega _{z}x_{i}z_{i}]+{\vec {j}}[-\omega _{x}x_{i}y_{i}+\omega _{y}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\omega _{z}y_{i}z_{i}]+{\vec {k}}[-\omega _{x}x_{i}z_{i}-\omega _{y}y_{i}z_{i}+\omega _{z}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})])=$

$\ ={\vec {i}}[\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{x}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{y}x_{i}y_{i}-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{y}x_{i}y_{i}]+{\vec {j}}[-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{x}x_{i}y_{i}+\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{y}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{z}y_{i}z_{i}]+$

$\ +{\vec {k}}[-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{x}x_{i}z_{i}-\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{y}y_{i}z_{i}+\sum _{i}^{n}m_{i}\omega _{z}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})]={\vec {i}}[I_{xx}\omega _{x}+I_{xy}\omega _{y}+I_{xz}\omega _{z}]+{\vec {j}}[I_{yx}\omega _{x}+I_{yy}\omega _{y}+I_{yz}\omega _{z}]+{\vec {k}}[I_{zx}\omega _{x}+I_{zy}\omega _{y}+I_{zz}\omega _{z}]$.

Отже, моментом імпульсу твердого тіла відносно центру інерції є вираз

$\ {\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-\sum _{i}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}x_{i}z_{i}\\-\sum _{i}^{n}m_{i}y_{i}x_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&\sum _{i}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}\\-\sum _{i}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}z_{i}y_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}\omega _{x}+I_{xy}\omega _{y}+I_{xz}\omega _{z}\\I_{yx}\omega _{x}+I_{yy}\omega _{y}+I_{yz}\omega _{z}\\I_{zx}\omega _{x}+I_{zy}\omega _{y}+I_{zz}\omega _{z}\end{pmatrix}}$,

або, у скалярному вигляді,

$\ |{\vec {L}}|=(I_{xx}+I_{yx}\omega _{x}+I_{zx}\omega _{x})\omega _{x}cos(\alpha )+(I_{xy}+I_{yy}+I_{zy})\omega _{y}cos(\beta )+(I_{xz}+I_{yz}+I_{zz})\omega _{z}cos(\gamma )=$

$\ =I_{xx}\omega cos^{2}(\alpha )+I_{yy}\omega cos^{2}(\beta )+I_{zz}\omega cos^{2}(\gamma )+2I_{xy}\omega cos(\alpha )cos(\beta )+2I_{xz}\omega cos(\alpha )cos(\gamma )+2I_{yz}\omega cos(\beta )cos(\gamma )=I\omega$,

а тензором інерції -

$\ {\hat {I}}_{t}={\begin{pmatrix}\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-\sum _{i}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}x_{i}z_{i}\\-\sum _{i}^{n}m_{i}y_{i}x_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&\sum _{i}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}\\-\sum _{i}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}z_{i}y_{i}&\sum _{i}^{n}m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}=I_{t}=\sum _{i}^{n}m_{i}[\delta _{jl}\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-r_{i_{j}}r_{i_{l}}]$.

Тензор інерції для дев'яти компонент момента імпульса вводиться через те, що компоненти ці залежать лише від положення початку відліку вибраної системи координат, орієнтації осей системи координат, та перетворюються коваріантно. З запису тензора у явному вигляді видно, що тензор симетричний.

Недіагональні елементи тензора називаються центробіжними моментами інерції.

Фізичний зміст центробіжних моментів інерції на прикладі умов вільного обертання твердого тіла навколо фіксованої осі.  

Нехай є А.Т.Т., кінці якого закріплені в підшипниках; усі сили, що діють на це тіло, є зовнішніми і зводяться до сили тяжіння $\ m{\vec {g}}$ та сили реакції підшипників $\ {\vec {R}}$. Умови вільного обертання полягають у наступному:

1. ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}^{ext}=m{\vec {g}}+{\vec {R}}=(m{\vec {g}}+{\vec {R}}_{vert})+{\vec {R}}_{gor}={\vec {R}}_{gor}=-m\omega ^{2}{\vec {R}}_{c\perp }=0$,

що означає, що $\ {\vec {R}}_{c\perp }=0$, тобто, що центр мас повинен лежати на осі обертання.

2. Момент сил, що діє на А.Т.Т., є інтегралом по масі від момента сил, що діє на елементарну масу $\ dm$:

${\frac {d{\vec {L}}}{dt}}={\vec {M}}^{ext}=\int [{\vec {r}}_{i}\times d{\vec {F}}^{ext}]=\int [{\vec {r}}_{i}\times -\omega ^{2}{\vec {r}}_{\perp _{i}}dm_{i}]=-\omega ^{2}\int [({\vec {r}}_{||_{i}}+r_{\perp _{i}})\times {\vec {r}}_{\perp _{i}}]dm=|[{\vec {r}}_{\perp _{i}}\times {\vec {r}}_{\perp _{i}}]=0,[{\vec {r}}_{||_{i}}\times {\vec {r}}_{\perp _{i}}]=-[{\vec {r}}_{\perp _{i}}\times {\vec {r}}_{||_{i}}]|=$

$\ =\omega ^{2}\int [{\vec {r}}_{\perp _{i}}\times {\vec {r}}_{||_{i}}]dm=0$,

де $\ {\vec {r}}_{\perp _{i}}$ - компонента радіус-вектора елемента маси, що перпендикулярна осі обертання тіла, $\ {\vec {r}}_{||_{i}}$ - компонента радіус-вектора елемента маси, що паралельна осі обертання тіла.

Якщо вибрати вісь обертання, наприклад, співнапрямленою з віссю $\ Oz$, то $\ {\vec {r}}_{||_{i}}=(0;0;z_{i}),{\vec {r}}_{\perp _{i}}=(x_{i};y_{i};0)$, і

$\ {\vec {M}}^{ext}=\omega ^{2}\int {\begin{vmatrix}\mathbf {\vec {i}} &\mathbf {\vec {j}} &\mathbf {\vec {k}} \\x_{i}&y_{i}&0\\0&0&z_{i}\end{vmatrix}}dm=\omega ^{2}\int y_{i}z_{i}dm{\vec {i}}+\omega ^{2}\int x_{i}z_{i}dm{\vec {j}}=I_{yz}\omega ^{2}{\vec {i}}+I_{xz}\omega ^{2}{\vec {j}}=0$.

Звідси очевидно, що центробіжними моментами інерції визначаються зовнішні моменти сил, що необхідні для обертання тіла навколо довільної осі, і що умовою вільного обертання є рівність центробіжних моментів інерції нулю.

Діагоналізація тензора відповідає вибору основної системи координат - головних осей А.Т. тіла.

Фізичний зміст діагональних елементів тензора.  

1. Сума діагональних елементів рівна подвоєному центральному моменту інерції $\ I_{0}$, який є моментом інерції тіла відносно даної точки:

$\ I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=2I_{0}$.

2. Після діагоналізації елементи називаються головними моментами інерції та рівні, як видно з їх запису, моментам інерції відносно осей обертання, що співпадають з головними.

Момент імпульсу, розрахований через тензор інерції, можна знайти наступним чином. Нехай є вісь А, яка проходить через початок координат та навколо якої відбувається обертання твердого тіла. Кути між нею та трійкою координатних осей $\ x,y,z$ рівні, відповідно, $\ \alpha ,\beta ,\gamma$. Таким чином, у загальному випадку усі 9 компонент тензора є ненульовими. Тоді

$\ {\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}\omega _{x}+I_{xy}\omega _{y}+I_{xz}\omega _{z}\\I_{yx}\omega _{x}+I_{yy}\omega _{y}+I_{yz}\omega _{z}\\I_{zx}\omega _{x}+I_{zy}\omega _{y}+I_{zz}\omega _{z}\end{pmatrix}}$,

або

$\ {\vec {L}}=L_{x}cos(\alpha ){\vec {i}}+L_{y}cos(\beta ){\vec {j}}+L_{z}cos(\gamma ){\vec {k}}\Rightarrow |{\vec {L}}|=(I_{xx}+I_{yx}\omega _{x}+I_{zx}\omega _{x})\omega _{x}cos(\alpha )+(I_{xy}+I_{yy}+I_{zy})\omega _{y}cos(\beta )+(I_{xz}+I_{yz}+I_{zz})\omega _{z}cos(\gamma )=$

$\ =I_{xx}\omega cos^{2}(\alpha )+I_{yy}\omega cos^{2}(\beta )+I_{zz}\omega cos^{2}(\gamma )+2I_{xy}\omega cos(\alpha )cos(\beta )+2I_{xz}\omega cos(\alpha )cos(\gamma )+2I_{yz}\omega cos(\beta )cos(\gamma )=I\omega$.

Тоді

$\ I=I_{xx}cos^{2}(\alpha )+I_{yy}cos^{2}(\beta )+I_{zz}cos^{2}(\gamma )+2I_{xy}cos(\alpha )cos(\beta )+2I_{xz}cos(\alpha )cos(\gamma )+2I_{yz}cos(\beta )cos(\gamma )\qquad (2.4)$.

Якщо ж діагоналізувати тензор інерції, то $\ (2.4)$ набуде вигляду:

$\ {\vec {L}}=L_{x}{\vec {i}}+L_{y}{\vec {j}}+L_{z}{\vec {k}}=I_{xx}\omega _{x}{\vec {i}}+I_{yy}\omega _{y}{\vec {j}}+I_{zz}\omega _{z}{\vec {j}}\qquad (2.5)$.

Звідси очевидно, що якщо $\ I_{xx}\neq I_{yy}\neq I_{zz}$, то напрями векторів $\ {\vec {L}},{\vec {\omega }}$ у загальному випадку не співпадають, і кінець вектора момента імпульсу постійно обертається по колу навколо осі обертання.

Якщо використати $\ (2.5)$, то можна побудувати геометричний образ тензора інерції - еліпсоїд інерції. Для цього треба привести $\ (2.5)$ до вигляду канонічного рівняння еліпса:

$\ |{\vec {L}}|=I\omega =I_{xx}\omega cos^{2}(\alpha )+I_{yy}\omega cos^{2}(\beta )+I_{zz}\omega cos^{2}(\gamma )\Rightarrow {\frac {cos^{2}(\alpha )}{I}}I_{xx}+{\frac {cos^{2}(\beta )}{I}}I_{yy}+{\frac {cos^{2}(\gamma )}{I}}I_{zz}=1\qquad (2.6)$.

Еліпсоїд інерції характеризує розподілення мас у твердому тілі (витягнутий у сторону зростання маси). Якщо еліпсоїди інерції двох твердих тіл еквівалентні, то еквівалентні й динамічні властивості тіл.

Кінетична енергія твердого тіла

Кінетична енергія твердого тіла  

Кінетичну енергію для руху твердого тіла, що рухається поступально і обертається навколо своєї осі, відносно центру інерції можна записати наступним чином:

$\ E_{k}=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {V_{i}}}^{2}}{2}}=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}({\vec {V}}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}])^{2}}{2}}=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {V}}^{2}}{2}}+\sum _{i}^{n}m_{i}({\vec {V}}\cdot [{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}])+\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}[{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}]^{2}}{2}}=$

$\ =\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {V}}^{2}}{2}}+([{\vec {V}}\times {\vec {\omega }}]\cdot \sum _{i}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i})+\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}(|{\vec {\omega }}||{\vec {r}}_{i}|sin({\vec {\omega }},{\vec {r}}_{i}))^{2}}{2}}=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {V}}^{2}}{2}}+\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}(|{\vec {\omega }}||{\vec {r}}_{i}|)^{2}(1-cos^{2}({\vec {\omega }},{\vec {r}}_{i}))}{2}}=$

$\ =\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {V}}^{2}}{2}}+\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(|{\vec {\omega }}||{\vec {r}}_{i}|)^{2}-({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}_{i})^{2})\qquad (1)$.

Вираз для другого доданку з $\ (1)$ можна перетворити наступним чином:

$\ \sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}([\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+\omega _{3}^{2}][r_{i_{1}}^{2}+r_{i_{2}}^{2}+r_{i_{3}}^{2}]-(\omega _{1}r_{i_{1}}+\omega _{2}r_{i_{2}}+\omega _{2}r_{i_{3}})(\omega _{1}r_{i_{1}}+\omega _{2}r_{i_{2}}+\omega _{3}r_{i_{3}}))=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(\sum _{j=1}^{3}[w_{j}^{2}]\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-\sum _{j=1}^{3}[\omega _{j}r_{i_{j}}]\sum _{l=1}^{3}[\omega _{l}r_{i_{l}}])=$

$\ =\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(\sum _{j=1}^{3}[w_{j}^{2}]\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-\sum _{j,l=1}^{3}[\omega _{j}r_{i_{j}}\omega _{l}r_{i_{l}}])=\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(\sum _{j,l=1}^{3}[w_{j}w_{l}\delta _{jl}]\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-\sum _{j,l=1}^{3}[\omega _{j}r_{i_{j}}\omega _{l}r_{i_{l}}])=$

$\ =\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(\sum _{j,l=1}^{3}[w_{j}w_{l}(\delta _{jl}\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-r_{i_{j}}r_{i_{l}})])=\sum _{j,l=1}^{3}(w_{j}w_{l}[\sum _{i}^{n}{\frac {m_{i}}{2}}(\delta _{jl}\sum _{k=1}^{3}r_{i_{k}}^{2}-r_{i_{j}}r_{i_{l}})])={\frac {1}{2}}\sum _{j,l=1}^{3}[w_{j}w_{l}I_{t}]$,

де

$\ I_{t}=\sum _{i}^{n}m_{i}[\delta _{jl}\sum _{k=1}^{3}[r_{i_{k}}^{2}]-r_{i_{j}}r_{i_{l}}]$

- тензор інерції.

Незалежність величини зміни кінетичної енергії при пружному ударі від ІСВ

Незалежність величини зміни кінетичної енергії при пружному ударі від ІСВ.  

У системі відліку K:

$\ \Delta E_{k}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}-{\frac {m_{1}v_{1'}^{2}}{2}}-{\frac {m_{2}v_{2'}^{2}}{2}}$.

Якщо система K' рухається зі швидкістю $v_{0}$ відносно системи K, тоді відносно цієї системи закон збереження енергії прийме наступного вигляду:

$\ \Delta E_{k}'={\frac {m_{1}(v_{1}+v_{0})^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}(v_{2}+v_{0})^{2}}{2}}-{\frac {m_{1}(v_{1'}+v_{0})^{2}}{2}}-{\frac {m_{2}(v_{2'}+v_{0})^{2}}{2}}\qquad (1)$.

Вираз (1) можна переписати:

$\ \Delta E_{k}'={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {2m_{1}v_{1}v_{0}}{2}}+{\frac {m_{1}v_{0}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}+{\frac {2m_{2}v_{2}v_{0}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{0}^{2}}{2}}-{\frac {m_{1}v_{1'}^{2}}{2}}+{\frac {2m_{1}v_{1'}v_{0}}{2}}-{\frac {m_{1}v_{0}^{2}}{2}}-{\frac {m_{2}v_{2'}^{2}}{2}}+{\frac {2m_{2}v_{2'}v_{0}}{2}}-{\frac {m_{2}v_{0}^{2}}{2}}\Rightarrow$

$\ \Rightarrow \Delta E_{k}'=\Delta E_{k}-v_{0}(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}v_{1'}-m_{2}v_{2'})$.

Оскільки, згідно з законом збереження імпульсу,

$\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}v_{1'}-m_{2}v_{2'}=0$,

то

$\ \Delta E_{k}=\Delta E_{k}'$.

Швидкість звуку

Швидкість звуку.  

Вираз для швидкості звуку у ідеальному газі

$\ v={\sqrt {\frac {dp}{d\rho }}}\qquad (1)$.

Якщо прийняти, що процес розповсюдження звукової хвилі можна визначити як адіабатний, то для зв'язку тиску та густини можна використати наступні співвідношення:

$\ {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}=const,p=\rho ^{\gamma }const$.

Тоді вираз $\ (1)$ можна переписати:

$\ v={\sqrt {\frac {dp}{d\rho }}}={\sqrt {\frac {d(\rho ^{\gamma }const)}{d\rho }}}={\sqrt {\gamma {\frac {\rho ^{\gamma -1}p}{\rho ^{\gamma }}}}}={\sqrt {\gamma {\frac {p}{\rho }}}}\qquad (2)$.

При врахуванні

$\ p={\frac {\nu RT}{V}},\rho =nm_{0}={\frac {NM}{VN_{a}}}={\frac {\nu N_{a}M}{VN_{a}}}={\frac {\nu M}{V}}$, вираз $\ (2)$ набуде наступного вигляду:

$\ v={\sqrt {\gamma {\frac {\nu RTV}{V\nu M}}}}={\sqrt {\gamma {\frac {RT}{M}}}}$.

Вираз для швидкості звуку твердого тіла

Можна розглянути малі продольні коливання стрижня, які виникають під дією постійної сили $\ F$. Тоді у збуреній області стрижня за час $\ t$ всі його елементи рухаються з постійною швидкістю $\ v$, і всі частини збуреної області деформовані однаково. Тоді

$\ {\frac {dp}{dt}}={\frac {d(mv)}{dt}}=|m=\rho sct|={\frac {d(v\rho sct)}{dt}}=F\qquad (1)$,

де $\ ct$ - відстань, яке проходить мале збурення за час $\ t$. З урахуванням того, що

$\ F=PS$, $\ (1)$ прийме вигляд:

$\ {\frac {d(\rho sctv)}{dt}}=\rho Scv=PS\Rightarrow P=\rho cv\qquad (2)$.

Тиск $\ P$ рівен

$\ P=\varepsilon E={\frac {\Delta l}{l}}E$.

Оскільки за час $\ t$ правий кінець збуреної області не встиг зміститися, а лівий кінець змістився на $\ vt$, причому $\ l=ct$, то

$\ P=E{\frac {vt}{ct}}=E{\frac {v}{c}}$.

Тоді $\ (2)$ прийме вигляд:

$\ \rho cv=E{\frac {v}{c}}\Rightarrow c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$.