1. Перетворення Фур'є для добутку
:
.
Дійсно, з точністю до константи
.
2. Матриця переходу у сферичній системі координат:
.
3. Сферично симетричний електростатичний потенціал:
.
Дійсно, якщо напрямити вектор
по осі z, то в сферичній системі координат між цим вектором та вектором
буде полярний кут
. Тоді, з урахуванням радіальної залежності густини (з незалежністю від інших змінних), загальний вираз для електростатичного потенціалу набуває вигляду
.
4. Лапласіан від поліному Лежандра з аргументом
:
.
5. Векторний добуток у сферичних координатах.
.
Нехай функцію
можна представити у наступному вигляді:
,
де
- остаточний член.
Відповідно до
, можна ввести функцію
:
.
Якщо прийняти
та ввести допоміжну функцію
,
то
.
Далі, оскільки
1.
неперервні на відрізку
, тому
також наперервна на цьому відрізку,
2.
диференціюється до
на інтервалі
, тому
диференціюється на цьому інтервалі,
3.
,
то, згідно з теоремою Ролля, є така точка
, що
:
.
Тоді
прийме вигляд:
,
який і є виразом формули Тейлора для функції
.
Нехай є інтеграл виду
.
Він рівен
.
Вірність цього результату можна довести, використовуючи наступне.
1. Є інтеграл виду
Тоді
.
При
виконується також наступна рівність:
.
Тоді
.
Якщо зробити заміну
, то
.
Наступна заміна -
. Тоді, при
, можна отримати:
Тоді
.
Замість
можна покласти
, тоді інтеграл зведеться до
.![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)
![{\displaystyle \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1e86a18a8eee8066aa7c7086dfef30726bc9fb)