Користувач:NAME XXX/Математичний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Корисні вирази з доведенням і без

[ред. | ред. код]

1. Перетворення Фур'є для добутку :

.

Дійсно, з точністю до константи

.

2. Матриця переходу у сферичній системі координат:

.

3. Сферично симетричний електростатичний потенціал:

.

Дійсно, якщо напрямити вектор по осі z, то в сферичній системі координат між цим вектором та вектором буде полярний кут . Тоді, з урахуванням радіальної залежності густини (з незалежністю від інших змінних), загальний вираз для електростатичного потенціалу набуває вигляду

.

4. Лапласіан від поліному Лежандра з аргументом :

.

5. Векторний добуток у сферичних координатах.

.

Формула Тейлора

[ред. | ред. код]

Нехай функцію можна представити у наступному вигляді:

,

де - остаточний член.

Відповідно до , можна ввести функцію :

.

Якщо прийняти

та ввести допоміжну функцію

,

то

.

Далі, оскільки

1. неперервні на відрізку , тому також наперервна на цьому відрізку,

2. диференціюється до на інтервалі , тому диференціюється на цьому інтервалі,

3. ,

то, згідно з теоремою Ролля, є така точка , що :

.

Тоді прийме вигляд:

,

який і є виразом формули Тейлора для функції .

Інтеграл Ейлера-Пуассона

[ред. | ред. код]

Нехай є інтеграл виду

.

Він рівен

.

Вірність цього результату можна довести, використовуючи наступне.

1. Є інтеграл виду

Тоді

.

При виконується також наступна рівність:

.

Тоді

.

Якщо зробити заміну , то

.

Наступна заміна - . Тоді, при , можна отримати:

Тоді .

Замість можна покласти , тоді інтеграл зведеться до .